圆的切线证明有技巧

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1、圆的切线证明有技巧　　摘要：圆是人们日常生活和生产中应用比较广泛的一种几何图形，比如生活中地平线与太阳位置关系的现象就可用直线与圆位置关系来反映。直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离，在这三种位置关系中，最特殊的莫过于切线了，因为它与圆仅有“惟一”公共点，在直线与圆相切的数学问题中，圆的切线的判定证明较多，本文就圆切线的证明的技巧进行小结。　　关键词：直线圆切线判别方法技巧　　正文：证明一条直线是圆的切线，除根据公共点的惟一性之外，通常有两种方法：（1）定义法：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

2、（2）切线判定定理：经过直径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。下面通过具体例题说明这两种方法的应用。　　一、运用定义法证明　　当题目中没有出现直线与圆的交点（即切点没出现）时，应过圆心作直线的垂线段，运用“定义法：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。”证明垂线段的长度等于圆的半径就可证明这条直线是圆的切线。所以这种方法可以归纳为“作垂直、证半径”。例如：　　例1.如图1，AP是∠CPD的平分线，点O是AP上一点，以点O为圆心的圆与PC切于点C.　　求证：PD是⊙O的切线.　　分析：本题没有明确

3、告诉PD与⊙O的交点，所以应过点O作OE⊥PD于点E，并连接OC，通过证明OE=OC，根据圆的切线的定义，来说明PD与⊙O相切.　　证明：过点O作OE⊥PD于点E，　　连接OC　　∵PC与圆相切于点C，　　∴OC⊥PC　　又∵AP是∠CPD的平分线，　　点O是AP上一点　　∴OE=OC　　∴PD是⊙O的切线　　变式练习：如图2，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC上的中点，⊙O与腰AB相切于点D.　　求证：AC与⊙O相切.　　分析：本题中⊙O与AC有无公共点未知，因此应过圆心O向AC作垂线段OE，只需证O

4、E的长等于半径即可.　　证明：连接OD、OA，过点O作OE⊥AC于E　　∵AB=AC，OB=OC　　∴AO是∠BAC的平分线　　∵AB是⊙O的切线　　∴OD⊥AB　　又∵OE⊥AC　　∴OE=OD　　∴AC与⊙O相切.　　说明：这一类题多与角平分线有关，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，来证明圆心到直线的距离等于半径，从而说明直线是圆的切线.　　二、运用切线的判定定理　　当题目中明确说明直线过圆上的某一点，就要连接这一点与圆心，即连半径，然后运用“圆的切线的判定定理：经过直径的一端并且垂直于这条半径的直

5、线是圆的切线。”证明这条直线与所连接的半径垂直就可证明这条直线是圆的切线。所以这种方法可以归纳为“连半径、证垂直”。例如：　　例2.如图3，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD，AC平分∠BAD，请问CD与⊙O相切吗？试说明理由.　　分析：本题中已经告诉C为⊙O上的一点，要证CD与⊙O相切，只需连接半径OC，证明OC⊥CD，即可依据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一判定定理来说明CD是⊙O的切线.　　解：CD与⊙O相切.理由如下：　　连接OC　　∵AC平分∠BAD　　∴∠

6、BAC=∠DAC　　又∵OA=OC　　∴∠BAC=∠ACO　　∴∠DAC=∠ACO　　∴AD∥OC　　又∵AD⊥CD　　∴OC⊥CD　　∴CD与⊙O相切.　　变式练习：如图4，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上.　　求证：DC是⊙O的切线　　分析：本题中也是明确说明了点C（即切点）在圆上，所以只需连接半径OC，证明OC⊥CD即可.　　证明：连接OC　　∵OA=OC　　∴∠A=∠ACO=30°　　∴∠BOC=∠A+∠ACO=60°　　又∵OC=OB　　∴△O

7、BC是等边三角形　　∴OB=BC　　∵OB=BD　　∴OB=BC=BD　　∴OC⊥CD　　∴DC是⊙O的切线.　　总之，几何图形和几何问题是千变万化的，能科学灵活地添加辅助线，合理使用切线的判定方法，掌握其中的技巧，才能有效地对圆的切线加以判定.　　（作者单位：甘肃省白银市育才学校）