椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究

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1、椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究题目：在椭圆求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。引申1：椭圆的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。如图，以坐标原点O为圆心，以

2、F1F2

3、为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐

4、角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是。引申2：双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以

5、F1F2

6、为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为，故所求距离为。引申3：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A.B.3C.D.分析：该题是将原题中∠为直角改为△为直角三角形，题中没确定哪个

7、角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠=90°时，只要找以

8、F1F2

9、为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以

10、F1F2

11、为直径的圆的方程与椭圆无交点，故此种情况无解；当∠=90°或∠=90°时，易求点P到x轴的距离为，故选D。引申4：F1、F2是椭圆C：的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________。分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以

12、F1F2

13、为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以

14、F1F2

15、为直径的圆方程为，与椭圆C：相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。引申5：设椭圆的两个焦

16、点是F1（－c，0），F2（c，0），c>0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使PF1⊥PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即，易得。下面将上述问题推广到一般：结论1：已知F1、F2是椭圆（a>b>0）的两个焦点。（1）若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是；（2）若椭圆上存在点P，使∠为钝角，则椭圆的离心率的范围是；（3）若

17、椭圆上存在点P，使∠，则椭圆的离心率的范围是。证明：（1）若存在点P，使PF1⊥PF2，表明，因而－，解得。（2）若存在点P，使∠为钝角，表明c>b，因而，解得<1。（3）在△中，由余弦定理得=（＋）2－∴∴，，解得。结论2：椭圆上对两焦点张角为θ（）的点P的个数由θ与∠=（P0为椭圆短轴的一个端点）的大小确定，当时，P点有0个；当时，P点有2个；当时，P点有4个。分析：若点P为椭圆上的动点，则cos∠F1PF2=，∵，∴当，即点P在短轴上时，cos∠有最小值，从而∠有最大值，即当点P在短轴上时∠取最大值，进而易知结论2成立。