第27讲 运筹学初步(一)

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1、第27讲运筹学初步（一）　　运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。　　本讲主要研究物资调运问题。　　将一些物资从某些地方调往另一些地方，要求总运费或物资运行的总吨千米数最少，就是物资调

2、运问题。　　例1A，B，C三地的距离（单位：千米）如左下图所示。现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务：从A地运12吨煤到B地，从B地运8吨钢材到C地，从C地运16吨粮食到A地。　　怎样安排才能使汽车空驶里程最短？　　分析与解：如右上图所示，将各段需运输的次数（括号内的数）及运输走向（箭头指向）标在图上。由于C到A的次数最多，所以应从C开始。按C→A→B→C，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，A地还有4吨煤待运。再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B。这样的安排只空驶了7千米，空驶里程最短。　　例2在一条公路上，每

3、隔10千米有一座仓库（如下图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？　　分析与解：最简单的方法是逐个计算集中到各个仓库所需的运费，然后加以比较。但这种方法计算繁琐，我们只需比较各点的优劣。例如，比较集中到C和集中到D的优劣。　　如上图所示，从右向左运的货物，如果集中到D，那么只有E仓库的60吨运到D；如果集中到C，那么等于E仓库的60吨运到D，再将D仓库的10吨及E仓库运来的60吨一起运到C。所以运到C仓库比运到D仓库多　　（60＋10）×10＝700（吨千

4、米）。　　同理，从左向右运的货物，运到C仓库比运到D仓库少　　（10＋30＋20）×10＝600（吨千米）。　　两相比较，集中到D比集中到C好。　　经过对各点的比较，货物集中到D仓库运费最少，运费为：　　（10×30＋30×20＋20×10＋60×10）×0.9=1530（元）。　　例3北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如下表：　　如何调运能使总运费最省？　　分析与解：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜。所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安。最佳的调运方案为

5、：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台。总运费为　　800×7＋1000×4＋600×5=12600（元）。　　例4北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如下表：　　如何调运能使总运费最省？　　分析与解：与例3不同的是，北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，没有出现一高一低的情况。此时，可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案。　　上表中第一行的差价为600-500＝100（元），第二行的差价为1000－700=300（元）。说明从北京给西安多发1台机器要多付运费100元，而从上海给西安多发1台机器要多付运费3

6、00元。所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总运费为：600×5＋500×5＋700×6＝9700（元）。　　如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为700-500=200（元），第二列差价为1000－600=400（元），所以武汉需要的机器应尽量从上海调运，而上海只有6台，不足的部分由北京调运。这个结论同前面得到的相同。　　例5A，B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示：　　如何调运才

7、能使运费最少？　　分析与解：A，B粮店共有大米70＋60=130（吨），甲、乙、丙三个居民点需要大米30＋40＋50=120（吨），供应量与需求量不相等，这与例4不同。但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。　　观察上表各列两数之差，最大的是第二列10－7=3，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨。　　在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙。　　因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。　　调运方案如右表。　　相应的运费为：　　30