角平分线性质的应用

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1、经典例题透析类型一：角平分线性质的应用　　1、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5　　　　　　求：D到AB的距离。　　思路点拨:点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。　　解析：过D作DE⊥AB于E。　　　　　∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC　　　　　∴DE=CD　　　　　∵BC=24，CD:DB=3:5　　　　　∴CD=24×=9＝DE　　　　　即点D到AB的距离是9。　　总结升华：角平分线上的点到角两边的

2、距离相等。　　举一反三：　　【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.　　　　　　求证：AE=CF　　【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF　　　　　　∴DE=DC　　　　　　在△ADE和△FCD中　　　　　　　　　　　　∴△ADE△FCD(ASA)　　　　　　∴AE=CF类型二：角平分线的判定　　2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。　　思路点拨：由已知条件与待求证的

3、结论，应想到角平分线的判定定理。　　解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）　　　　　∴∠CDF=∠BEF=90°　　　　　∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)　　　　　BF=CF(已知)　　　　　∴△DFC≌△EFB(AAS)　　　　　∴DF=EF(全等三角形对应边相等)　　　　　∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）　　　　　∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)　　　　　即AF为∠BAC的平分线　　总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了

4、说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。　　举一反三：　　【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O　　(1)若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。　　(2)若D，E不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。　　【答案】　　（1）∵AB=AC,AD=AE　　　　∴BE=CD　　　　∵DB⊥AC,CE⊥AB,　　　　∴∠BEO=∠CDO=90°　　　　在△BEO和△CDO中　　　　　　　　∴△BEO△CDO　　　　∴EO

5、=DO　　　　∵EO⊥AB,DO⊥AC　　　　∴点O在∠A的平分线上　　（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO　　　　在△ABD和△ACE中　　　　　　　　∴△ABD△ACE　　　　∴∠B=∠C　　　　∵AB=AC,AD=AE　　　　∴EB=CD　　　　在△BEO和△CDO中　　　　　　　　∴△BEO△CDO　　　　∴EO=DO　　　　连接AO，则：　　　　在△AEO和△ADO中　　　　　　　　∴△AEO△ADO　　　　∴∠EAO=∠DAO　　　　∴O点在∠A的角平分线上类型三、角平

6、分线的综合应用　　3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE　　求证：∠BAD=∠DAC+∠C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再证余下的部分等于另一个角。　　解析：过C作CF⊥BE，交BE的延长线于F　　　　　∵AD⊥BE，CF⊥BE　　　　　∴AD//CF　　　　　∴∠DAC=∠FCA　　　　　即∠FCB=∠ACB+∠DAC　　　　　在Rt△B

7、CF中∠FCB=90°-∠EBC　　　　　在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠ABE　　　　　∵BE平分∠ABC　　　　　∴∠ABE=∠EBC　　　　　∴∠FCB=∠BAD=∠DAC+∠C　　总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。　　举一反三：　　【变式】在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。　求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】过Ｄ作AB、BC所在直线的垂线，垂足分别是E、F　　　　　　∵BD平分∠ABC　　　　　　∴DE=DF

8、　　　　　　又∵AD=CD　　　　　　∴△AED△CDF（HL）　　　　　　∴∠C=∠DAE　　　　　　又∵∠BAD+∠DAE=180°　　　　　　∴∠C+∠BAD=180°