运用特征数求一阶递推数列的通项

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1、运用特征数求一阶递推数列的通项运用特征数求一阶递推数列的通项刘振民（诸暨市荣怀中学，浙江311800）一个数列可以由通项公式来确定，也可以由相邻项的关系及初始项来确定，我们把数列的这种若干连续项之间的关系叫做递推关系，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列．等差数列也可以用递推关系来定义：满足下列条件，的数列称为等差数列．类似地，等比数列的定义：满足下列条件，的数列称为等比数列．因此，等差数列和等比数列是两个特殊的递推数列，是研究其他数列的基础，其定义、通项公式和求和公式是解决复杂数列问题的重要工具．一

2、般地，由两个连续项之间的关系及一个初始项所确定的数列，叫做一阶递推数列；由三个连续项之间的关系及两个初始项，所确定的数列，叫做二阶递推数列，如数列满足，（其中为常数），这个数列就是二阶递推数列，…．在高考试题中，主要以一阶递推数列为主，应引起足够的重视．递推数列的通项公式求法很多，技巧性较强，这里重点介绍形如的一阶递推数列的通项公式的求法．问题已知数列的首项为，当时，（其中为常数），求数列的通项公式．分析：（1）当时，则有，即（），根据等差数列定义，数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为（2）

3、当时，由已知得，这表明数列是一个各项均为常数列，所以数列的通项公式为（3）当，且，时，由已知得，即（）根据等比数列的定义可知，数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．（4）当时，设，则，又由已知，比较两式的右边，可得所以．于是有（*）若，则当时，由上式（*）可得第3页共3页运用特征数求一阶递推数列的通项=，……类推，．若，则有（*）可知数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即．由以上讨论可以得出：一般地，数列的首项为，当时，（其中为非零常数，且），取，称为递推关系中特征数，它对求通项公式很有用

4、，应记住．在解题时要先将递推关系变成形如的形式，然后再考查特征数，以便对递推关系进一步变形．例1已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．分析：显然，，而，可知，数列是常数列．解：由已知的，又因为，所以．例2数列的前和满足，（）,(1)求的值及与的关系；(2)求证：是等比数列，并求出的通项公式．分析：利用，将已知条件中转化即可求得与的关系，问题很容易解决．解：（1）由，得，=1当时，，得（2）由（1）知，则有，由于，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，即．例3在数列中，求．分析：将已知关系式变形

5、为，两边同除以可得，记，则，这就可以用前面的公式求出，从而得到的表达式．略解：由已知关系式得所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故第3页共3页运用特征数求一阶递推数列的通项，所以例4设数列中，，（其中为常数），求．分析：将已知两边平方并去分母可得，两边同除以得，所以可看作是公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解．解：由已知得所以，即因此，数列是公差为1的等差数列，所以即由已知，与的符号相同，而与的符号相同，因而与的符号相同，所以通过以上例子可看出，求一阶递推数列的通项公式应注意对递推关系的

6、灵活变形，转化为可运用等差数列或等比数列可处理的形式是关键，在解题中若能准确运用特征数，则可大大简化解题过程，提高解题的速度．联系电话1318557693605758072861通讯地址浙江省诸暨市荣怀中学高中部电子邮箱liuzhenmin1@sina.com第3页共3页