8-5-6-7三向应力圆及广义虎克

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1、§8－4三向应力状态下的应力圆一般三向应力状态单元体如图。一般平面应力状态下，通过旋转单元体都可以使其成为主单元体。一般三向应力状态单元体，通过旋转，也可以使其成为主单元体。1）绕Z轴旋转，使τxy、τyx为零；2）绕X轴旋转，使τyz、τzy为零；3）绕Y轴旋转，使τxz、τzx为零；主单元体：六个平面都是主平面若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的各斜截面上的应力。σ3对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力σ1和σ2所画的应力圆圆周上各点的坐标。同理，在平行于σ2的各个斜截面上，其应力对应于由主应力σ1和σ3所画的应力圆圆

2、周上各点的坐标。在平行于σ1的各个斜截面上，其应力对应于由主应力σ2和σ3所画的应力圆圆周上各点的坐标。txysxIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆II平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆IIIIIs2s1s3s3IIIs2s1这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：三向应力状态的应力圆三向应力状态特例分析一点

3、处应力状态中的最大切应力只是、、中最大者，即:三向应力状态的应力圆三向应力状态特例分析至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。n三向单元体上任意斜截面上的应力状态，都在三向应力圆中的阴影部分之内。IIItsIs2s3IIs1三向单元体的应力圆中，最大剪应力τmax是圆II的半径。τmax在三向应力状态情况下：τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。解：例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MP

4、a）。解：例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。解：1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律8-5广义胡克定律2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法8-5广义胡克定律8-5广义胡克定律3、广义胡克定律的一般形式8-5广义胡克定律对于二向应力状态：yzx各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变比能3、三个弹性常数之间的关系刚已知：试求铜块的三个主应力Cu体aa解：铜块处于二向应力状态且由广义胡克定律得铜块的三个主应力为广义胡克定律应用广义胡克定律TT13545aabb解：==例已知:

5、a

6、+

7、b

8、=40010

9、-6，E=200GPa,μ=0.2，D=120mm，d=80mm，求T。注：三角公式xy4545根据虎克定律：平面应力状态下由测点处的线应变求应力yxx45x45-45xy4545平面应力状态下由测点处的线应变求应力yxx45x45-45一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。yxxx45-45§8-6复杂应力状态下的变形比能变形比能=体积改变比能+形状改变比能u=uv+uf返回怎样证明A－A截面上各点的应力状态不会完全相同。2、平

10、衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法AA结论与讨论论证A－A截面上必然存在切应力，而且是非均匀分布的；关于A点的应力状态有多种答案、请用平衡的概念分析哪一种是正确的AA结论与讨论3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段，求解较为复杂的应力状态问题ＣA2s√３sB2s√３s怎样确定C点处的主应力结论与讨论4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要请分析图示4种应力状态中，哪几种是等价的t0t0t0t0t0t045ｏt0t045ｏ结论与讨论5、注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力－一点处的最大切应力231s-smax=t

11、结论与讨论6、正确应用广义胡克定律－某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚.ε45o结论与讨论