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《第四章仿射坐标与仿射平面》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等几何课程概论一、高等几何的内容什么是射影几何？欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学欧氏几何(初等几何)搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如——平行性、两平行线段的比等等射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比
2、如——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！第四章仿射坐标与仿射平面§4.1透视仿射与仿射对应一、平行射影与仿射对应二、仿射不变性与仿射不变量§4.2仿射坐标系一、仿射变换的代数表示二、特殊的仿射变换一、平行射影与仿射对应两直线间的平行射影与仿射对应两平面的平行射影与仿射对应：§4.1透视仿射与仿射对应（一）.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且,，≠≠,点A,B,C,D……,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于……，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为TA
3、BCD原象点：A,B,C,D……直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点O为自对应点或二重点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：……直线上的点记透视仿射T：………2.仿射对应：仿射对应是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射………………仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链。2.仿射：（二）.两平面的平行射影
4、与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即透视轴二、仿射不变性与不变量定义仿射不变性与不变量：经过一切仿射对应不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.（一）.仿射不变性1.仿射对应保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保持点与直线的结合性3.保持两直线间的平行性.（反证法）4.平行四边形是仿射不变的图形.思考1：菱形、正方形、梯形是仿射不变的图形吗？（二）.
5、仿射不变量1.单比：设A,B,C为三点共线，则有向线段的比：称为这三点的单比（简比），记作ABC单比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数当点C在线段AB上时，(ABC)<0当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A重合时，当点C与点B重合时，当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B两点称为基点(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在即∞ABC根据单比的定义可得出以下结论：当点C趋向无穷远时，(ABC)=1例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）。解
6、:设∵点P在直线x+3y-6=0上.ABPx+3y-6=0定理共线三点的单比是仿射不变量.定理两平行线段之比是仿射不变量.ABC==要证:ABCDE可作DEAC,==ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵单比是仿射不变量∴推论一直线上两线段之比是仿射不变量.思考2：一般的，任意两线段长度之比，是不是仿射不变量？推论1在仿射变换下，任何两个多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两个封闭图形的面积之比是仿射不变量定理任意两个三角形面积之比是仿射不变量.小结仿射不变性同素性、结合性、平行性注：垂直、角平分线不具有仿射不变性相切性、中点、
7、重心、对称中心仿射图形平行四边形梯形仿射不变量：共线三点的简比图形面积的比两平行线段之比一直线上任两线段之比三角形面积比多边形面积比封闭图形面积比定理任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由的证明可得:§4.2仿射坐标系设有仿射坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求P的坐标（x,y）和在坐标系xoy下的坐标之间的关系。一、仿射
8、变换的代数表示xyOP(x,y)或者写为且因为三点不共线，三点不共线所以行列式不为0.例1.求出使点分别变为的仿射变换。【解】设所求仿射变换为：分别
