高等几何讲义 第二章射影平面____§1 扩大仿射平面

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1、SDACB(B/)A/C/D////第二章射影平面____§1.扩大仿射平面1.中心射影设与/是二相交平面，S是不在和/上的一定点，取作射影中心．对上的任意点A，作直线SA交/于A/．将点A/称作点A在/上的中心射影，从中心S引出的直线SA称为投射线．SM///§1.扩大仿射平面中心射影具有性质：1.将点变成点；2.将直线变成直线；3.保持点与直线的结合关系．这是平行射影也具有的性质．但中心射影不保持平行性，这与平行射影不同！(如图)§1.扩大仿射平面另外，中心射影不是双射．(如上图中的点M；再如下图中，直线间的中心射影下，点P无对应点

2、)分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线．方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射．新问题：无穷远元素如何表示？SPMM/Q//P/Q§1.扩大仿射平面无穷远元素的坐标表示分析：平面仿射坐标系下，二直线(1):A1x+B1y+C1=0，(2):A2x+B2y+C2=0，注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标．C1C2B1B2B1B2A1A2A1A2C1C2B1B2A1A2，．若相交，则交点坐标为：注意：此坐标与比值C1C2B1B2A1A2C1C2B1B2A1A2::是一一对应的．§1.扩大仿射平面另外，注意到当一组直线平行

3、于固定方向时，其中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必不同．可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标．§1.扩大仿射平面2.点的齐次仿射坐标定义设=[O;e1,e2]是平面仿射坐标系．在之下，满足下述条件的有序实数组(x1,x2,x3)(0,0,0)称为平面上点的齐次仿射坐标：1．若0，则(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)为同一点的齐次仿射坐标；2．若x30，则(x1,x2,x3)是(非齐次)仿射坐标为x=x1/x3,y=x2/x3的普通点的齐次仿射坐标；3．齐次仿射坐标

4、为(x1,x2,0)的点称为无穷远点．注意：条件2给出了普通点的(非齐次)仿射坐标与齐次仿射坐标之间互化的方法．§1.扩大仿射平面引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面，引进了无穷远点的直线称为扩大直线．注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原来的作为点集的仿射平面或欧氏平面．§1.扩大仿射平面3.直线的齐次仿射坐标方程仿射坐标系下，直线的方程为AxByC0．扩大直线的齐次仿射坐标方程为：Ax1Bx2Cx30(A、B、C不全为0)．(1)无穷远直线：x30．(2)例．设0为非无穷远直线，0为无穷远直线，则0(,为参数)表示什么图形？答：为一束

5、平行直线．直线(1)上的无穷远点为(B,A,0)．当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；当不平行于y轴时，无穷远点可写为(1,A/B,0)．§1.扩大仿射平面因kA/B是直线(1)的方向数，故方向数为k的直线上的无穷远点为(1,k,0)；方向数为的直线上的无穷远点为(0,1,0)．可见，方向数与无穷远点一一对应．几个结论：1.每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点；2.平行直线有同一无穷远点；3.不平行直线有不同无穷远点；4.两点确定唯一直线．符号约定：齐次坐标为(x1,x2,x3)的点记为x；点x的任一组确定的齐次坐标记为(x)(x1,x2,x3)．§1.扩

6、大仿射平面例1三点a、b、c共线它们的齐次坐标满足a3b3c3a2b2c2a1b1c1=0．证明：若有至少二点相同，则显然成立．不同三点共线存在直线A1x1A2x2A3x30，使三点坐标均满足此方程，即关于A1、A2、A3的齐次线性方程组a1A1a2A2a3A30b1A1b2A2b3A30有非零解c1A1c2A2c3A30a3b3c3a2b2c2a1b1c10．注：在代数观点下，可说三点共线此三点的坐标三数组线性相关．例2求点a(2,3,1)、b(1,4,0)确定的直线．解：设a、b确定的直线上的动点为x(x1,x2,x3)，则有§1.

7、扩大仿射平面故所求直线方程为：4x1x25x30．x234x1210，x210§1.扩大仿射平面一般地，记a、b所连直线为ab，其坐标方程为x1x2x3a1a2a30．b1b2b3或(x)(a)(b)，、R且220．其参数方程为：x1a1b1x2a2b2，、R且220．x3a3b3§2.射影平面1.射影平面及其性质将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射平面称为射影平面．射影平面上的点