高等数学上册复习16036

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1、第一章复习提要第一节映射与函数1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例2、注意无界函数的概念3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节数列的极限会判断数列的敛散性第三节函数的极限1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节无穷大和无穷小1、无穷小和函数极限的关系：，其中是无穷小。2、无穷大和无穷小是倒

2、数关系3、铅直渐近线的概念（p41）,会求函数的铅直渐近线4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态第五节极限的运算法则1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如。，。但是2、会求有理分式函数的极限（P47例3-例7）（重要）时:若分母，则极限为函数值若分子和分母同时为零，则为型极限，约去公因子若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））时，用抓大头法，分子、分母同时

3、约去的最高次幂。第六节极限存在的准则，两个重要极限（重要）1、利用夹逼准则求极限：例p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）3注意下面几个极限：；；第七节无穷小的比较（重要）1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k阶还是等价穷小）2、常见的等价无穷小：；；3、若为无穷小，则，，，。4、替换无穷小时必须是因式应该5、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）第八节函数的连续性与间断点（重要）1、函数在点连续左连续且右连续

4、2、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。3、在点连续在点连续；但反之不对。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。4.注意三个例题：例6-例8（重要）5、幂指函数求极限，可以利用等式=来求。（重要）6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页6）（重要）第十节闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容会零点

5、定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明请熟悉函数当时的极限。第二章复习提要1、导数的定义（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题例1、设则例2、设存在，则（重要）（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题例3、已知，求注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）例4、设为可导的，求的值（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）（5）可导连续，反之不成立！2、求导法则（1）复合函数求导不要掉项；（2）幂指函数转化成指

6、数来求导3、高阶导数（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：；；由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：(3)二项式定理（4）间接法求高阶导数：例5、求的n阶导数：提示。（5）注意下列函数的求导例6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）；（2）4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对球到后解出。（2）会求二阶导数（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式。（重要）（5）相关变化率问题：根据题意给出变量和之间

7、的关系；两边对（或者是其他变量）求导和之间的关系，已知其中一个求另外一个。5、函数的微分（1）微分与可导的关系：可微可导且（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分：显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子例7、设求。解:利用一阶微分形式不变性,有。（3）近似计算公式：注意的选取原则。(一般不会考)第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要3.1微分中值定理（重要）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用：证明等式，一般通过证明导数为零证明不等式：若不等式中不含，则取作为辅助函数的自变量；

8、若含有，则取作为辅助函数的自变量。（重要）判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1设函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点使得。证明：上述问题等价于。令，则在上满足罗尔定理条件，于是少存在一点使得即有。（5）请熟悉132页例1.3.2洛必达法则（重要）（1）(其他类型的未定式)最终转化成型和型未定式（2）每次用前需判断（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3