双曲线专题复习讲义知识梳理

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1、双曲线专题复习讲义★知识梳理★1.双曲线的定义（1）第一定义：当时,的轨迹为双曲线;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点，焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为等轴双曲线的渐近线方程为，离心率为.；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足，二要注意是一

2、支还是两支，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，★热点考点题型探析★考点1双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解

3、析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得

4、PA

5、=

6、PC

7、，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故

8、PB

9、－

10、PA

11、=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵

12、PB

13、>

14、PA

15、,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师

16、指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若

17、PF1

18、：

19、PF2

20、=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12C．D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形，故选B。2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]，选C3.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）（B）（C）（D）［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，题型2求双曲线的标准方程[

21、例2]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，

22、则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.[解析]抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A．B．C．（x>0）D．[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2双曲线的几何性质题型1求离心率或离心率的范围[例3]已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为．【解题思路

23、】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决[解析](方法1)由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．(方法2)，双曲线上存在一点P使，等价于(方法3)设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．[解析]当时，，，当时，，，或8.已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左

24、准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A