人教a版必修平面向量的实际背景及基本概念学案

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1、疱工巧解牛知识•巧学一、向量1.数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做标量.2.具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量.也就

2、是说，本章所学的向量只有大小和方向两个要素.学法一得数学中的向量是由大小和方向唯一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.辨析比较①数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；②数量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，a>b没有意义，而

3、a

4、>

5、b

6、是有意义的；③数量可以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算.二、有向线段在物理学中，表示位移的最简单方法是用

7、一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大小.1.定义：一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由A指向B.2.表示方法：以A为起点，以B为终点的有向线段记作.应注意始点一定要写在终点的前面.如图2-1-3.图2-1-33.有向线段的三要素：已知，线段的长度也叫做有向线段AB的长度，记作

8、

9、

10、.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度唯一确定.辨析比较由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约定有向线段的起点也是任意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”.三、向量的表示法1.用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的长度(或称模)，记作

11、

12、.如图2-1-4所示.图2-1-4规定了合适的比例尺后，平面上的向量就可以用有向线段来表示了.2.用字母表示

13、向量.向量印刷时可用黑体小写字母如a、b、c来表示，书写用、、来表示，还可用表示向量的有向线段起点和终点的字母表示.四、两个特殊的向量1.零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是不确定的.误区警示注意0与0的区别：0是一个向量，具有方向，而0是数量，没有方向.2.单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量.显然，单位向量有无数个；单位向量的大小相等；单位向量不一定相等.五、平行向量1.定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图2-1-5,a，b，c是平行向量.图2-1-5通常记作a

14、∥b∥c.2.规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.六、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图2-1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.图2-1-6对于相等向量的理解要注意以下几个问题：(1)零向量与零向量相等，即0=0.(2)任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.(3)由相等向量的定义可知，对一个向量，只要不改变它的大小和方向，可任意平移(自由向量的起点可任意选定).如图2-1-7，容易看出：.由以上分析，一个平面向量的

15、直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”.图2-1-7学法一得判断两个向量相等的唯一依据就是它的定义，即只需比较两个向量的模(有向线段的长度)是否相等、方向是否相同，与它们所在的直线是否共线无关.七、共线向量由于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量.如图2-1-8，a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出=a，=b，=c.图2-1-8学法一得任一向量都与它自身是平行向量，因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与任一向量都

16、是平行向量.由于平行向量的基线互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向量平行与直线平行不同，向量平行包括基线重合的情况，而直线平行一般不包含重合的情形.典题•热题知识点一向量例1指出下列概念是不是向量：(1)作用于物体上的大小为10N，方向是南偏西30°的力；(2)温度表中表示零上、零下的温度；(3)物体M沿东北方向移动了8m的位移.思路分析：根据向量定义可以判别.解：(1)是向量.因为力是既有大小又有方向的量；(2)不是.因