数列应用问题中两种重要的递推关系

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1、找准递推关系---快速解数列应用题江苏常州邓兆华数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合，概率统计是较为常见的模型,其中建立数列的递推关系来解题是高考应用题中的常见题型一、一个数列相邻两项的递推，利用递推数列求通项的方法解决这类数列的通项问题。例1、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新

2、增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则，解法一：当时，，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式,得,

3、上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.解法二：利用待定系数法可以求出，下省略点评：上面的解法其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.例2、将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？n边行呢？解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n边形（各边依次为）满足条件的涂色方法有种．考虑n＋1

4、边形的涂法：从边开始考虑，对于，有3种涂法；对于边，由于要不同于边，故有2种涂法；……；对于，有2种涂法；最后考虑边，如果不考虑这条边是否与边同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边与边的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为；第二种是边与边的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边与边看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为．由此，不难得出：．所以，．另一方面，显然有．所以，，显然，．点评：本题的难点在于递推数列模型的

5、建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．二、两个数列的三项递推，转化为一个数列的递推问题。例3、某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有90%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？解:引入字母,转化为递归数列模型.设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则..，于是即..故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.上述解法中提炼的模型,使我们联想到了课本

6、典型习题已知数列的项满足其中，证明这个数列的通项公式是有趣的是,用此模型可以解决许多实际应用题。例4．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0

7、.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．则＝2，＝0.2，且．（＊）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．由（＊）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．由题，令<0.01，得．所以，．由得，所以，．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．