小学奥数解析十八竞赛题选讲

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1、小学奥数解析十八竞赛题选讲例1计算：1+2+22+23+…+29+210分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．解：设S=1+2+22+23+…+29+210（1）　　用2乘以上式的两边可得　　2S=2+22+23+…=210+211（2）　　用（2）式减去（1）式的两边，得　　S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+…+29+210）　　=211-1　　=2048-1　　=2047．例2计算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分

2、析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．解：设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1）　　用2乘以上式的两边可得　　2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9（2）　　用（2）式减去（1）式的两边，得　　S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+

3、2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10　　=1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10　　再设A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3）　　用2乘以（3）式的两边可得：　　2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）　　用（4）式减去（3）式两边，得　　A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375　　于是，有：　　S=1+1.99609375-19×（0.5）10　　=2.99609375-19×0.0009765625　　=2.99609375-0.

4、0185546875　　=2.9775390625．例3计算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂项法，有　　11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，　　12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，　　13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，　　…　　100×101×102　　=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，　　把这90个等式相加，得　　原式=（100×101×102

5、×103-10×11×12×13）÷4　　=25×101×102×103-10×11×3×13　　=26527650-4290　　=26523360．例4规定a*b=ab（其中a、b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=53=125　　125*2=1252=15625，　　即有　　（5*3）*2=15625　　又由　　3*2=32=9，　　5*9=59=1953125　　即有　　5*（3*2）=1953125．例7一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶．从地面上到最上面一级台阶，共有多少种

6、不同的迈法？分析按照规定的上楼梯方式，依次考虑楼梯的阶数是1级、2级、3级、4级、…的情况：（用记号an表示n级台阶的楼梯的迈法总数）　　①当n=1时，显然只有一种迈法，即a1=1；　　②当n=2时，可以一步一级地走二步上到最上面一级台阶，也可以一步迈二级直接上到最上面一级台阶，因此共有2种不同的迈法，即　　a2=2；　　③当n=3时，可以一步一级地走上楼，也可以一步三级上楼，还可以第一步迈一级、第二步迈二级或第一步迈二级、第二步迈一级上楼，因此共有4种不同的迈法，即　　a3＝4；　　④当n=4时，分三种情况来分别讨论迈法：　　1°若第一步迈一级台阶，则还

7、剩下3级台阶，由③可知有a3=4（种）迈法；　　2°若第一步迈二级台阶，则还剩下2级台阶，由②可知有a2=2（种）迈法；　　3°若第一步迈三级台阶，则还剩下1级台阶，由①可知有a1=1（种）迈法；　　综合上述，4级台阶的楼梯总共有：　　a4=a3+a2+a1=4+2+l=7（种）　　不同的迈法；　　④n=5，6，7，8，9，10时，类似地有：　　　　　答：按照规定的上楼方式，一个有10级台阶的楼梯共有274种不同的迈法．　　说明：本例通过研究楼梯的级数是相邻自然数时相应迈法之间的关系，从而由1级、2级、3级台阶的迈法总数，逐步推导出4级、5级、…、直至10

8、级台阶的楼梯的迈法总数．这种解决问题的思想方法，通常称为归纳递推方