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1、有关函数的论文（函数论文）：最佳投资选择下的双目标函数规划模型摘要:一般情况下,收益高的投资工具,其风险也大,而风险相对较小的投资工具其收益较低。金融投资的风险是指投资者在投资过程中,由于种种不确定因素,影响着其未来实际收益与预期收益发生背离的可能性及背离的幅度。因此,如何做出最佳投资选择,实现投资者的效用极大化的目标是投资决策分析研究的一个关键。关键词:Markwitz模型；非线性规划；投资组合；双目标函数规划模型1标准的Markwitz模型如下,是在资本总量一定的情况下,以不高于某一风险而极大化预期收益为目标的01max..1niiERxstxxxσσ=?=′???
2、′≤???∑=(1)这是一个非线性规划问题。当0σ取不同的值时,就可以得到不同的投资组合和预期收益,所有这些由点(E,σ)形成的曲线,就称为该投资组合的有效前沿。Merton给出了该模型的有效前沿的解析形式。基于该模型的推广和完善主要在以下两个方面:一是寻找更加合理、有效的市场风险度量形式;二是考虑实际金融环境所遇到的各种摩擦。首先,投资者对风险的含义有不同的理解。有人认为收益的不确定就是风险,也有人认为只有未来的收益低于预期收益时才存在风险。对于风险的定义不同,则度量风险的依据也就不同,因此不同的风险形式就一直在提出。其次,现实市场中考虑的摩擦主要有以下一些:各种形式
3、的交易费,包括比例交易费、固定交易费、凸交易费、非凸交易费,交易税,不同借贷利率,最小交易单位,股利,买卖价差,市场结清等。2考虑到资本市场的实际情况,在建立模型之前,需要对所涉及的问题进行适当的假设和说明首先,假设M是一笔数额相当大的资金可以用作一个时期的投资,具体问题中又已知当购买额不超过给定值iu时,交易费按购买iu计算(不买当然无须付费)。不难推算出,在M相当大的情况下,ui的作用是可以忽略不计的。其次,需要确定对于资产的收益和风险的度量。最后,还需要基于实际的交易实践进行一些假设。基本假设的归纳总结如下。(1)资本市场是无障碍的,也就是说资产的交易数量不限,投
4、资者可以根据自己的财力在市场上按照市场价格购买任何一种资产。(2)一项资产的平均收益率,指在一个投资周期内各种可能的收益值在总投资中所占的百分比的统计平均。单项资产的收益用该项资产的平均收益率来衡量,由若干项资产组成的资产组合的收益用该资产组合的各项资产的平均收益率的权重平均来表示。(3)一项资产的风险损失率,指在一个投资周期内资产在发生风险时最大可能的损失在总投资中所占的百分比。单项资产的风险用该项资产的风险损失率来衡量,由若干项资产组成的资产组合的风险用该资产组合的各项资产中最大的一个风险来衡量。(4)投资者按照自己对投资本身具有的期望收益和风险程度的估计做出投资决
5、策。(5)投资者进行投资决策时坚持“利益最大化原则”。给定一定的风险水平,投资者将选择期望收益最高的资产或者资产组合。给定一定的期望收益,投资者将选择风险最低的资产或者资产组合。(6)投资者只能按照市场价格买入或者卖出资产,并且这一买卖行为不会对资产的价格产生影响。3根据前面的假设,可以判断如果购买金额为ix的资产iS所需的交易费用()iicx是一个分段函数,形式如下0,0.(),0,1,...,.,.iiiiiiiiiiixcxpuxuinpxxu?=?=?<<=??≥(2)若存入银行的资金额为0x,显然有00c(x)=0。在资金总额M相当大的情况下,就有iiμM?u
6、,此时iu的作用可以忽略不计。因此,在建立模型的过程中,有关交易费用的部分将更加明了。假设占资金M中比例为μi的部分,用来购买资产(0,1,...,)iSi=n,于是购买资产iS的资金为iμM,购买资产iS需要付的交易费用为iiμMp。另外,显然有01niiμ=∑=(3)因此,购买资产iS的净收益为(1)=()iiiiiiiiiBMrMMpMrpμμμμ=+???(4)购买资产iS的风险,在数理上可以表示为iiiβ=μMq(5)于是,由若干种风险资产构成的风险资产投资组合的总体净收益记为B,对应的总体风险记为β,如果将钱存入银行既无交易费又无风险(00q=0,p=0),
7、因此0niiBB==∑(6){}1maxiinββ≤≤=(7)那么,在存在无风险资产的情况下,资产组合投资决策函数为{}{}0011()maxmaxnniiiiiiiiiininBBMrpMqμββμ==≤≤≤≤?==????==?∑∑(8)这两个函数具有一般性,但是计算起来会很复杂。于是,建立该问题的数学规划模型,其实质上是一个双目标的优化问题0max()niiiiBMμrp==?∑?,{}1minmaxiiinβMμq≤≤=?(9)01,0,1,2,...,..01niiiinstμμ=??==??≤≤?∑(10)即:max(B,?β
