23_特征分解与正弦频率估计

《23_特征分解与正弦频率估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.6白噪声中的正弦波频率估计引言本节讨论如何估计白噪声中的正弦波的频率.这里所指“正弦波”的主要特征是:●是正弦波过程,其初相位是内均匀分布的随机变量;●如果是多个正弦波的组合,它们之间是非谐波关系(因此不能采用周期图法分析).估计方法——特征分解法,这是一种特别适合于多个正弦波加白噪声序列的频率估计方法.本节介绍以下两种方法:（1）Pisarenko(皮萨伦科)法主要思路是:将白噪声中的正弦过程作为一个特殊的ARMA模型,用特征方程求该模型参数,从而计算正弦波的频率,功率以及噪声功率等.（2）子空间法(多信号分类法——MUSIC方法)主要思路是:把数据自相关阵中的信息空间分解成信号子空间

2、和噪声子空间,这两个子空间中的矢量函数(并不是功率谱)在正弦波频率上呈现尖峰(最大值),据此即可估计正弦波的频率.这种带白噪声的正弦波频率估计,也是评价谱分析的性能的基础.MUSIC——MultipleSignalClassification其它估计方法评述:①Burg法——会产生谱分裂，谱峰偏移;②修正协方差法——较为适用,但对低信噪比情况,难以估计淹没在噪声中的正弦波频率.4.6.1用退化的AR模型表示纯正弦波过程1.纯实正弦波过程为了将纯正弦波过程与AR模型联系起来,现研究下列三角恒等式:或者表示为(4.6.1)令则式(4.6.1)可表示为下列二阶差分方程(4.6.2)注:利用和差化积公

3、式:即可证明该式.取上式的Z变换,得式中称为特征多项式(4.6.3)当时,可解得两个根:其特点是:与共轭成对;,均在单位园上.由以上两个根可确定正弦波的频率为,(只取正频率)式(4.6.2)可看作为一个特殊的二阶AR过程,称为“退化的”二阶AR模型,其特征如下:正规AR(p)模型的差分方程表示为模型的激励白噪声方差趋于0;退化的AR(2)模型极点趋于单位园;两个系数分别为和1.现将以上处理扩展到由个实正弦波组成的随机过程:(4.6.4)式中,和——第个正弦波的振幅和角频率;——初相位,是在区间内均匀分布的独立随机变量,它在一次实现中为常量.与单个正弦信号类似,存在下列特征多项式:(4.6.5

4、)显见,应是的阶多项式,(4.6.6)考虑到根的共轭成对性,式(4.6.5)与(4.6.6)的等价性可用下式表示:(4.6.7)这样,由式(4.6.6),可用下列阶差分方程描述个实正弦波组合的模型:(4.6.8)注意:个实正弦波组合是退化的过程,独立参量为个.2.复正弦波过程若是由个复正弦波组成的正弦波过程,即(4.6.9)用一个退化的AR(p)模型表示该过程的差分方程为(4.6.10)其特征多项式为,(4.6.11)其根为,(4.6.12)注意:这里的根不是共轭成对的.因此,个复正弦波组合是退化的过程,独立参量也是个.4.6.2用特殊的ARMA模型表示白噪声中的正弦波过程附加白噪声的个正弦波

5、组合信号为(4.6.13)式中,满足:;;将式中个正弦波组合用模型表示,得到(4.6.14)由式(4.6.13),可得将上式代入式(4.6.14),得(4.6.15)这是一个特殊的模型.与一般的模型比较,主要有下列不同:（1）式(4.6.15)的AR部分与MA部分具有相同的阶数和相同的参数,它们存在共同的因子(这正是该模型的特殊之处);（2）由于特征多项式(4.6.7)式的根的模为1,故AR部分特征多项式不满足平稳性条件,MA部分特征多项式也不满足可逆性条件.（3）AR部分的,可见是含白噪声的观测值,而作为信号的却不含白噪声.4.6.3特征分解法谱估计1.皮萨伦科(Pisarenko)谱分解

6、法特殊的模型结构,不能采用一般的模型谱估计方法获得各正弦信号的频率与功率.为此介绍特征分解技术.将式(4.6.15)写成矩阵形式:(4.6.16)式中式(4.6.16)两边左乘,并取数学期望,得到(4.6.17)式中将以上关系式代入式(4.6.16),得到下列特征方程(4.6.18)其中,是数据的自相关函数;是的特征值;是对应的特征矢量.可以证明:（1）是的最小特征值;（2）当的维数是时,是的单量特征值,因此与对应的特征矢量是唯一的.正弦波的频率:当的维数是时,由算出对应于最小特征值的特征矢量以后,就可由特征多项式的根获得正弦信号的频率信息.由特征方程,(4.6.19)解出该方程的个根,这些根

7、均在z平面的单位园上,它们是:,(4.6.20)式中的即是正弦波的频率.正弦波的功率:已知,且其中,和()是彼此独立的随机变量；;的概率密度().的自相关函数为(4.6.21),(4.6.22)式中,是正弦波的功率,即由式(4.6.22),令,可得以下矩阵方程由以上矩阵方程,可解出().说明:（1）Pisarenko谱分解法的关键一步，是求自相关函数的最小特征值及对应的特征矢量.（2）当正弦波的个