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1、第一章抽样和抽样分布1.4子样数字特征子样值的数字特征（子样数字特征的观察值）①子样均值②子样方差子样均方差③修正子样方差修正子样均方差④子样k阶原点矩子样k阶中心矩当子样值以频数分布给出时①子样均值②子样方差子样均方差③修正子样方差修正子样均方差④子样k阶原点矩子样k阶中心矩顺序统计量定义：子样有子样值，将数据由小到大重新排序后记为，将其视为随机变量的观察值，则称为的顺序统计量注：不独立子样中位数及其观察值:子样极差:§2一些常用的抽样分布2.1分布分布的定义：是来自母体的一个子样，则称服从自由度为n的分布，记为：概率密度函数分布的性质：Ø期望
2、、方差：，则,Ø可加性，即：若，，且与相互独立，则有Ø极限性质：设，则对有的标准化变量的分布函数满足：.从而当n充分大时，，.Ø当时,分布的上侧分位数 定义：设，则对于，存在唯一实数,使得称实数为的上分位数．备注：Ø随机变量的上侧分位数定义：设X的分布密度为,则对，存在唯一实数,使得，称实数为X的上侧分位数．Ø的上侧分位数定义：设,则，存在唯一实数，使称实数为U的上分位数．求法：，故：，反查标准正态分布函数表，可得值.2.2分布定义：设，，且与相互独立，令，则称服从自由度为的分布，记为：概率密度函数：性质：Ø分布的极限分布是.很大时，若，则.ØØ
3、当时,分布的上侧分位数定义：设，则存在唯一实数,使称实数为T的上分位数．2.3分布定义：设，，且与相互独立，，则称服从自由度为的分布，为第一自由度、为第二自由度.记为：概率密度函数：性质：①,则;②;①备注：当较接近1时，不能从附表4直接查到，故应查表求，再用此公式计算.2.4抽样分布定理单个正态母体情形定理1设母体X有：是X的一个子样，是子样均值，则①；②特别，当时，，.定理2是来自母体的一个子样，则ü；ü与独立；ü.两个正态母体情形定理3是来自母体的一个子样，是来自母体的一个子样，相互独立，则①；②；③当时，，其中：.大子样情形（子样容量）定
4、理4²是来自母体的一个子样，，，则；²是来自母体的一个子样，，，是来自母体的一个子样，，，相互独立,则.1.3最大似然估计法当为离散型母体设母体的分布律为其中的函数形式已知，但参数（一维或多维）未知。若子样有观测值，则已发生的事件的概率称为似然函数.再求出使关于的函数取得最大值的作为未知参数的最大似然估计.当为连续型母体设母体的分布密度为其中的函数形式已知，但参数（一维或多维）未知。子样有观测值，则似然函数取为，再求使取得最大值的.1.4用和估计正态母体的参数正态母体中子样中位数的渐进分布定理：设是来自的一个子样，是子样中位数，则对于，有定理表明
5、，当充分大时，，从而，，且越大时，在附近取值的概率越大。正态母体中子样级差的期望和方差定理：设是来自母体的一个子样，是子样级差，则，，从而有，其中与子样容量有关，可查表2-1（P41）.用和估计正态母体参数的方法①求：当很大时，可取.②求：当时,可取；当时,取估计时误差会较大，为此（ⅰ）将子样的个值分成组，每组数据不超过10个；（ⅱ）求各组子样级差，再求平均级差（ⅲ）取，其中，即每组中数据的个数.§2估计量的评选标准2.1无偏估计定义：设是未知参数的估计量，若，则称是的无偏估计若，则称是的有偏估计若，则称是的渐近无偏估计2.2优效估计有效性定义：
6、设都是的无偏估计，若对于任意子样容量n有，则称比有效罗-克拉美（R-C）不等式(连续母体情形)则有不等式此不等式称为R-C不等式，称为R-C下界.优效估计定义:若的无偏估计的方差达到R-C下界,即，则称是的优效估计2.3相合估计²定义:若当时,,则称是的相合估计(consistentestimator，或称为一致估计).这样，充分大时（即对于大子样），与充分接近几乎是必然的，从而可以用一次抽样所得的去估计.²结论：1)，分别是的相合估计.2)也是的相合估计.§3区间估计3.2大子样对母体均值的区间估计设母体的分布是任意的，均存在且未知，从母体中抽
7、大子样，试以概率对母体均值作区间估计解：①的点估计可取为；②由中心极限定理知，但其中是未知参数，注意到是的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有以此随机变量作为枢轴量.③给定置信概率为，则存在使，即亦即于是，的置信概率为的置信区间为.3.3正态母体均值的区间估计现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。问题：母体,未知,求的置信概率为的置信区间。解:①的点估计可取为；②由抽样分布定理知以此随机变量为枢轴量.③给定置信概率为，则存在，使，即亦即故的置信概率为的置信区间为3.4大子样对两母体均值之差的区间估计问题：设母体的分布是任意的，均存在且未知，
8、独立地从两母体中抽取大子样，是子样均值，是子样方差，.试以概率对母体均值之差作区间估计。解：①的点估计可取为；②中心极限定理知由两子样独
