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《2018版高中数学人教版a版选修1-1学案:3.1.1变化率问题-3.1.2导数的概念》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念[学习目标] 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一 函数的变化率定义实例平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,简记作:①平均速度;②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即=①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;②切线斜率知识点二 函数f
2、(x)在x=x0处的导数函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′
3、,即f′(x0)==.62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案题型一 平均变化率例1 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10.(1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01.(2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势?解 (1)∵Δy=h(1+Δx)-
4、h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,∴=-4.9Δx-3.3.①当Δx=2时,=-4.9Δx-3.3=-13.1;②当Δx=1时,=-4.9Δx-3.3=-8.2;③当Δx=0.1时,=-4.9Δx-3.3=-3.79;④当Δx=0.01时,=-4.9Δx-3.3=-3.349.(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3.反思与感悟 求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x
5、1.(3)得平均变化率=.跟踪训练1 求函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.解 函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===6x0+3Δx.当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.题型二 物体运动的瞬时速度62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案例2 一辆汽车按规律s=2t2+3(时间的单位:s,位移的单位:m)做直线运动,
6、求这辆汽车在t=2s时的瞬时速度.解 设在t=2s附近的时间增量为Δt,则位移的增量Δs=[2(2+Δt)2+3]-(2×22+3)=8Δt+2(Δt)2.因为=8+2Δt,=(8+2Δt)=8,所以这辆汽车在t=2s时的瞬时速度为8m/s.反思与感悟 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的,其求解步骤如下:(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);(2)求时间t0到t0+Δt之间的平均速度=,(3)求的值,即得t=t0时的瞬时速度.跟踪训练2 一质点按
7、规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.解 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,∴=4a+aΔt.在t=2s时,瞬时速度为=4a,即4a=8,∴a=2.题型三 函数在某点处的导数例3 求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.解 Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×12-2×1)=3(Δx)2+4Δx,∵==3Δx+4,∴y′
8、x=1==(3Δx+4)=4.反思
9、与感悟 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率=;(3)取极限,得导数f′(x0)=.62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案跟踪训练3 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数f′(2)=,而f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx,于是f′(2)==(-Δx-1)=-1.瞬时速度的求解例4
10、 一辆汽车按s=3t2+1做直线运动,求这辆车在t=3s时的瞬时速度.(位移单位:m,时间单位:s)分析 本题主要考查瞬时速度的求法,既可以利用逼近思想,由平均速度通过逼近得到瞬时速度;也可以利用极限思想,由平均速度通过取极限得到瞬时速度.解 方法一 当Δt<0时,在[3+Δt,3]这一段时间内,====3Δt+18.当Δt=-0.1时,=17.7;当Δt=-0.01时,
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