2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：3.1.1变化率问题-3.1.2导数的概念

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.1.1　变化率问题3.1.2　导数的概念[学习目标]　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一　函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率知识点二　函数f

2、(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、，即f′(x0)＝＝.62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案题型一　平均变化率例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－

4、h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.反思与感悟　求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x

5、1.(3)得平均变化率＝.跟踪训练1　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二　物体运动的瞬时速度62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案例2　一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线运动，

6、求这辆汽车在t＝2s时的瞬时速度.解　设在t＝2s附近的时间增量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2.因为＝8＋2Δt，＝(8＋2Δt)＝8，所以这辆汽车在t＝2s时的瞬时速度为8m/s.反思与感悟　求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度＝，(3)求的值，即得t＝t0时的瞬时速度.跟踪训练2　一质点按

7、规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为＝4a，即4a＝8，∴a＝2.题型三　函数在某点处的导数例3　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.解　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵＝＝3Δx＋4，∴y′

8、x＝1＝＝(3Δx＋4)＝4.反思

9、与感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝.62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案跟踪训练3　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.瞬时速度的求解例4

10、　一辆汽车按s＝3t2＋1做直线运动，求这辆车在t＝3s时的瞬时速度.(位移单位：m，时间单位：s)分析　本题主要考查瞬时速度的求法，既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度；也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度.解　方法一　当Δt＜0时，在[3＋Δt,3]这一段时间内，＝＝＝＝3Δt＋18.当Δt＝－0.1时，＝17.7；当Δt＝－0.01时，