第5章二次同余式与平方剩余

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1、初等数论教案第五章二次同余式与平方剩余本章的目的是较深入地讨论二次同余式。讨论方法是把问题归结到讨论形如的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数(勒让德符号及雅可比符号)去讨论m是单质数的情形，进而讨论一般的情形。最后还应用本章结果解决两个不定方程的问题，并介绍一下与它们有关的著名的华林问题。教学内容:1.一般二次同余式教学目的:了解一般二次同余式及平方剩余，平方非剩余的概念：教学重难点:平方剩余的概念教学过程:本节主要讨论二次同余式，讨论方法是把问题归结到讨论形如的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数讨

2、论m是单质数的情形，进而讨论一般的情形：一．基本概念：首先：二次同余式的一般形式：（1）用4a乘（1）式再加上得：若令则上式变为（2）具体分析过程见书上P74:由同于是的性质可知（2）与（1）式同时有解或同时误解：故讨论（1）式有解的问题可以转为讨论（2）式有解的问题：为了讨论（2）式是否有解，我们引入平方剩余和平方非剩余的概念：定义：假设（a,m）=1，如果同余式有解，则a叫做模m的平方剩余，否则叫做模m的平方非剩余：例：根据同余式解的形式：他的接有0，1，2，3，4，5，6这7中可能，而a有1，2，3，4，5，6这六种可能，严整可知当a取1，2，4是有解，当

3、a取3，5，6时误解，故1，2，4为模7的平方剩余，而3，5，6为模7的平方非剩余：教学内容:2.单质数的平方剩余与平方非剩余教学目的:了解单质数的平方剩余，平方非剩余的基本性质及判别方法：教学重难点:平方剩余，平方非剩余的判别教学过程:-79-初等数论教案这节我们讨论单质数p的平方剩余，平方非剩余：一．判别方法：定理1：（欧拉判别条件）：若（a,p）=1，则a是模p的平方剩余的充要条件是：：而a是模p的平方非剩余的充要条件是：证明：见书上P76：由此定理我们就可以判别单质数p的平方剩余，平方非剩余：二．基本性质：定理2：模p的平方剩余和平方非剩余各为，而且个平

4、方剩余分别与序列中之一数同余，且仅与一数同余：证明：见书上P77：关于平方剩余和平方非剩余具有以下性质：定理3：对于同一素数p来说：1．二平方剩余之积仍是平方剩余：2．一平方剩余与一平方非剩余之积为平方非剩余：3．二平方非剩余之积为平方剩余：证明：1。设均为模p的平方剩余，即有两数使的于是有这说明是模p的平方剩余：故证。2．设a为模p的平方剩余，故有(a,p)=1，由于1，2，……p-1是模p的简化剩余系，故a,2a,……(p-1)a也是模p的简化剩余系，而1，2，……p-1中有个数为平方剩余，故a与这个平方剩余之积仍是平方剩余，因而，在a,2a,……(p-1)

5、a中除去这些平方剩余后，剩下全为平方非剩余，即一平方剩余与一平方非剩余之积为平方非剩余：3．设b为模p的平方非剩余，则简化剩余系b,2b,……(p-1)b中，个平方非剩余是b与平方剩余之积，而个平方剩余是平方非剩余b与平方非剩余之积,所以，二平方非剩余之积为平方剩余：一般二次同余式　　在第四章中，我们讨论了高次同余式的解的一般理论，但在实际中，要解一个高次同余式一般比较困难。在本章我们重点讨论二次同余式的解法。思路是先把一般二次同余式化为特殊的二次同余式，再引入平方剩余与平方非剩余，并利用勒让得符号来判断特殊二次同余式是否有解。-79-初等数论教案　　二次同余式

6、的一般形式　二次同余式的一般形式是　，0　（）　　　　　　　（1）　　化一般二次同余式为特殊二次同余式　　由高次同余式的理论知，若的标准分解式为，　　则（1）有解的充要条件是下面同余式组中每个同余式有解。　　　　　　　　　　　于是要判别（1）是否有解及如何解（1），我们可重点讨论　　　　　为质数。（2）　　下面对（2）分情况进行讨论。找到（2）有解的判别法。　　由于（2）为二次同余式，故可假定，若有　但(,,)，则（2）化为。　　而。故还可假定(,,)。　　1)

7、，

8、。则。因而同余式无解。故（2）设有解。　　2)

9、，。则无解，故（2）有解的充要条件是有解，即有解

10、。　　但（，）＝1。故有解，从而（2）有解，且（2）的解可由的解求出。　　3)　，>2。则。用4乘（2）后再配方，即得　　　　　　　　　　（3）易证（2）和（3）等价。用代2＋得　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）　　则（2）有解的充要条件是（4）有解，于是将（2）化为（4）讨论。　　4)，＝2。这时为奇。-79-初等数论教案　　（i）若2，则无解。故（2）有解的充要条件是有解。　　因对任何整数恒有。所以（2）有解的充要条件是有解，即2

11、。　　（ii）　若2

12、，令。由知（2）有解的充要条件是有解。即　　　　(5)有解。　　作代换＝＋，则（2）有解的充要条件是

13、有解。　　由上面讨论，可