几何画板迭代详解之：迭代与分形几何

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1、几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代

2、的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。2.表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接

3、等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。1.添加新的映射,。第3步第4步2.继续添加映射。3.改变参数n可观察图形变化。第5步第6步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其9等分，

4、得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围8个小正方形。然后对每个小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1.平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。2.以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；1.并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则

5、该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。第2步第3步2.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形

6、和地毯。是不是很漂亮呢？【摇曳的PythagoreanTree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。2.填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，。第2步第3步4.选择E点，单

7、击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。【分形树】【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。【过程】1.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4.双击