几何画板迭代全解

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1、几何画板迭代全解目录²迭代的基本概念以及迭代的基本操作u迭代的概念u迭代在代数、几何中的应用u画正多边形u数列的图像、前n项和与积²迭代与分形几何uSierpinski三角形uSierpinski地毯u摇曳的PythagoreanTree毕达哥拉斯树u分形树uKOCH曲线uKOCHSnowflake柯克雪花u数学之美uH迭代u蜂巢u其它分形欣赏²函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集u迭代法求方程解uMIRAuHenon-AttractoruMandelbrot集合uJuliaSets集合u牛顿迭代法²下期预告26第一章：迭代的概

2、念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1

3、作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7,9，11,13,15......如图1.1所示。图1.1图1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一

4、步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。【例1】画圆的内接正7边形。26【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。【步骤】1.新建圆O，在圆O上任取一点A。2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固

5、定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。第2步第3步3.选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。4.单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成。第4步第5步5.单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。6.点击迭代框【结构】按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭

6、代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有。26选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标，但是我们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发现最后的那个点变成实点了，这个功能在函数映射里面会用到。上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。【例2】画圆的任

7、意n边形【步骤】1.新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。2.新建参数n＝7，计算,注意这时要带单位‘度’。3.选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出现旋转对话框，单击计算结果‘’作为标记角度，得到B点。连接线段AB。第3步第4步4.顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代I】，出现迭代对话框。单击B点作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作。261.如何改变参数n呢？有两种方法，第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n，按键盘的‘＋’、‘－’，系

8、统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。【例3】求数列(n=1,2......)的图前8项，并在平面上画出散点