2018版高中数学（人教b版）必修五学案第二章 2.1.2 数列的递推公式（选学）含答案

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1、www.ks5u.com2.1.2　数列的递推公式(选学)[学习目标]　1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案　(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案　数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，….除了列举法外，数

2、列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一　由递推公式写出数列的项例1　已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；(2)a1＝1，an＋1＝.解　(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝

3、a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.-6-(2)∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，∴它的前5项依次是1，，，，.它的前5项又可写成，，，，，故它的一个通项公式为an＝.规律方法　(1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用

4、后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1　设数列{an}满足写出这个数列的前5项．解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.要点二　由递推公式求通项例2　已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？解　(1)an＝··…···a1＝()n－1·()n－2·…·()2·()1·1＝()1＋2＋…＋(n－1)＝，-6-∴an＝.(2)∵bn＝＝(n－)2－，∴n∈N＋时，bn递增，即{an}为

5、递减数列，∴当n≤4时，≤6，an＝≥，当n≥5时，≥10，an＝≤.∴从第5项开始各项均小于.规律方法　由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当an－an－1＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an.(3)当＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝··…···a1来求an.跟踪演练2　已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋(n≥2)给出．(1)写出数列{a

6、n}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝.(2)由an＝an－1＋得an－an－1＝(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋1-6-＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N＋)．要点三　数列与函数的综合应用例3　f(x)＝log2x－(0

7、)∵f(x)＝log2x－，又∵f()＝2nm，∴log2－＝2n，即an－＝2n.整理得a－2nan－2＝0，∴an＝n±.又0an，∴数列{an}是递增数列．规律方法　数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{an}的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3　函数f(n)＝数列{an}的通项an＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n)(n∈N＋)．(1)求a1，a2，a4的值；(2)写出an与an－1的一个递推关系式(注

8、：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝4n－1)．解　(1)a1＝f(1