2018届高三数学 第25练 高考大题突破练——导数

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1、2018届高三数学总复习同步练习第25练高考大题突破练——导数训练目标(1)导数的综合应用;(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合;(2)利用导数研究函数零点;(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题,函数零点可以和函数图象相结合;(2)求参数范围可用分离参数法.1.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有

2、f(x1)-f(x2)

3、≤e-1,求m的取值范围.2.(2015·课标全国Ⅰ)已知

4、函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.3.已知函数f(x)=(x+1)e-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;2018届高三数学总复习同步练习(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x,存在实数x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t的取值范围.4.(2016·山东)已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2

5、)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.5.已知函数f(x)=xlnx和g(x)=m(x2-1)(m∈R).(1)m=1时,求方程f(x)=g(x)的实根;(2)若对任意的x∈(1,+∞),函数y=g(x)的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求m的取值范围;(3)求证:++…+>ln(2n+1)(n∈N*).答案精析2018届高三数学总复习同步练习1.(1)证明 f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,

6、emx-1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f′(x)>0.所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)解 由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],

7、f(x1)-f(x2)

8、≤e-1的充要条件是即①设函数g(t)=et-t-e+1,则g′(t)=et-1.当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0

9、,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,g(m)>0,即em-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].2.解 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,即解得x0=,a=-.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上无零点.当x=1时,若a≥-,则f(1)=a+≥0

10、,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故1是h(x)的一个零点;若a<-,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.(ⅰ)若a≤-3或a≥0,则f′(x)=3x2+a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调.而2018届高三数学总复习同步练习f(0)=,f(1)=a+,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)上没有零点.(ⅱ)若-3

11、,在(,1)上单调递增,故在(0,1)中,当x=时,f(x)取得最小值,最小值为f()=+.①若f()>0,即--或a<-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;当

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