2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.3.2 离散型随机变量的方差含解析

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1、2．3.2　离散型随机变量的方差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的

2、方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差条件X服从二点分布X～B(n，p)方差p(1－p)np(1－p)1．离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X9取

3、值的稳定性和波动、集中和离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．求离散型随机变量的方差　　[例1]　已知X的分布列为X010205060P求随机变量的均值和方差．[思路点拨]　利用方差公式求解，首先求出均值E(X)，然后利用D(X)的定义求方差．[精解详析]　E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，D(X)＝(0－16)2×＋(10

4、－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.[一点通]　已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是(　　)A．n＝100，p＝0.08　　　B．n＝20，p＝0.4C．n＝10，p＝0.2D．n＝10，p＝0.8解析：由于X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6.所以np＝8，np(1－p)＝1.6，解之得n＝10，p＝0.8.答案：D2．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)kp1－k(k＝0,1)，则E(X)、D

5、(X)的值分别是(　　)A．0和1B．p和p29C．p和1－pD．1－p和p(1－p)解析：随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(1－p)k·p1－k(k＝0,1)，则P(X＝0)＝p，P(X＝1)＝1－p，所以E(X)＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，所以D(X)＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝p(1－p)．答案：D求实际问题中的均值和方差[例2]　袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．[思路点拨]　确定随机变量X的取值，

6、列出其分布列，再计算均值和方差．[精解详析]　由题意可知，X＝5,4,3.P(X＝5)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝3)＝＝.故X的分布列为X543PE(X)＝5×＋4×＋3×＝4.D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.[一点通]　1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布

7、列；(2)求X的均值和方差．解：(1)X的可能的取值为0,1,2，9P(X＝k)＝，k＝0,1,2.X的分布列为X012P(2)由(1)得，X的均值与方差为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(1－2)2×＝.4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)