浅论圆的方程及有关问题

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1、浅论圆的方程及有关问题向平【摘要】在高中的数学教学阶段中，由人民教育出版社中学室偏著的全日制普通高级中学教科书，高二《数学》第二册（上）（必修）本中第七章，直线和圆的方程第7、6节的圆的方程一节中有许多关于圆，圆与直线及圆与圆等有关方面的问题、现就这几方面，笔者结合自己多年的教学实际，总结了一些教法感悟。圆及有关问题也是人们在生产和生活中经常遇到的问题，需我们去解决，它是属于数学中的解析几何的问题、需要弄清以下几个方面。【关键词】圆直线切线方程一、圆的方程（一）正确理解圆的定义及标准方程我们知道平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆其中定点叫圆心、定长就是半

2、径。在解析几何中圆的方程有两种形式标准方程：(x－a)2+(y－b)2=R2其中圆心为（a、b）半径为R例：求以c（1、3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。分析：本题告诉了圆心坐标，用点到直线距离公式，先求出半径，然后代A圆的标准方程即可。解：因为c与直线3x－4y－7＝0相切所以半径r等于圆心到这条直线的距离。由点到直线的距离公式得因此所求的圆的方程为：(x-1)2+(y-3)2=(二)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)，其中圆心为（－－、－）,半径为在这两种形式中，标准方程直接反映了圆心和半径，若已知圆心和半径写

3、成这种形式比较容易，而圆的一般方程在一部分应用中比较简单，但应注意，一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为：D2+E2-4F＞0例：求过三点0(0、0)M1(1、1)M2(4、2)的圆的方程，并求这个圆-9-的半径和圆心坐标。分析：本题没有直接给出圆心和半径，故用一般方程只需求出D、E、F这三个待定系数就可以了。解：设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F，因为0、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标代入上面的方程，得到关于D、E、F的三元一次方程组解这个方程组于是得到所求圆的方程

4、x2+y2-8x+6y=0所求圆的半径圆心坐标为（4、－3）二、直线与圆直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：1.是把圆的方程和直线的方程联系成方程组，利用判别式来讨论位置关系方法二是把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较这两种制定方法中，方法二比方法一更为方便，因而更为常用。㈠直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程及切线等方面的问题，必须正确理解和运用圆与圆的切线的有关性质，a.切线与过切点的半径互相垂直，因此两直线的斜率均存在时，斜率之积为－1；b.圆心到切线的距离等于圆的半径;c.由切线与圆有且只有一个公共点，因此将切线的方程

5、代入圆的方程化简所得的一元二次方程判别式为0。（1）求圆的切线方程：①已知切点求圆的切线方程例：已知，圆的方程为x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0、y0)的切线方程解：设切成的斜率为K，半径M的斜率为K1-9-则有∵∴故经过点M的切线方程为：整理得：∵点M（x0、y0）在圆上∴的所求圆的切线方程为：点评：圆心在原点、半径为r的圆上一点的切线方程为：，故要求此类切线方程只需将x0、y0、r0的值代入公式即可。②已知圆外一点求圆的切线方程例：求经过点(1、7)与圆x2+y2=25相切的切线方程。分析：点（1，-7）代入圆的方程有1+(－7)2＞25，因此点(1、7

6、)在已知圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种：方法一：设切线的斜率为K，由点斜式得：Y+7＝K(x-1)即y=K(x-1)-7①将①代入圆的方程得x2+[k(x-1)-7]2=25整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0由此方程解出k，再代回①可得切线方程，从过程看利用此法求切线方程，过程冗长，计算书写量大而繁杂，容易出现错误，通常情况下不采用。解法二，设所求切线斜率为k∴所求直线方程为：y+7=k(x-1)即kx-y-k-7=0∴解得或∴切线议程为：4x-3y-25=0或3x+4y+25=0方法三：设切点为(x0、y0)则此切线

7、方程为：x0x+y0y=25将(1、7)代入切线方程得x0-7y0=25由解得或故所求切线方程为：4x-3y-25=0或3x+4y+25=0③已知切线的斜率，求圆的切线方程。例：已知圆的方程为：x2+y2=1，求斜率为1的圆的切线方程方法一：设切线方程为：y=x+b将其代入圆x2+y2=1，得x2+(x+b)2=1，即2x2-9-+2bx+b2-1＝0)由直线与圆相切有△＝4b2–8b2+8=0∴∴所求切线方程为方法二：设切线方程为：y=x+b由直线与圆相切得故∴所求切线方程为：方法三：设切点为(x0、y0)∴又由①、②解得：或∴圆的切线方程为：④已知直线在y轴