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《第3章二阶线性常微分方程_291101271》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第三章二阶线性常微分方程§3.1二阶线性常微分方程的一般理论3.1.1解的存在唯一性定理3.1.2齐次方程解的结构3.1.3非齐次方程的解§3.2斯图姆-刘维尔型方程的特征值问题3.2.1斯图姆-刘维尔方程的形式3.2.2斯图姆-刘维尔方程的边界条件3.2.3斯图姆-刘维尔特征值问题§3.3斯图姆-刘维尔型方程的多项式解集3.3.1核函数和权函数的可能的形式3.3.2多项式的级数表达式和微商表示3.3.3母函数关系3.3.4正交的斯图姆-刘维尔多项式解集的完备性定理§3.4与多项式斯图姆-刘维尔系统有关的方程和函数3.4.1拉盖尔函数3.4
2、.2勒让德函数3.4.3切比雪夫函数3.4.4厄米函数§3.5切比雪夫双曲函数§3.6非齐次方程有解的条件§3.7二阶常微分方程的复变函数理论3.7.1齐次线性方程组的解3.7.2二阶常微分方程习题§3.1二阶线性常微分方程的一般理论3.1.1解的存在唯一性定理物理问题经常在数学上表现为二阶微分方程，可以是常微分方程或者偏微分方程.通常情况下，偏微分方程是通过分离变量法来分解为几个常微分方程的.因而，解决常微分方程是解决偏微分方程的基础.定义1凡联系自变量x，未知函数y及其某些导数或微分的方程，称为常微分方程，简称微分方程.定义2微分方程中
3、出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的1阶.定义3如果在微分方程中，未知函数及其所出现的导数都没有二次以上的幂次，则称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程.在实际问题中，最常遇到的是二阶线性常微分方程.它的一般形状是yxpxyxqxyxfx′′()++=()()()()′()(3.1.1)常称这种形式是二阶线性常微分方程的标准型.如果fx()0≡，则称方程是齐次的；如果fx()0≠则称方程是非齐次的.yx′′()++=pxyxqxyx()()()()0′(3.1.2)对于齐次方程，可以证明(解的存在唯一性定理)：对于以下的初值问
4、题⎧ypxyqxy′′++=()′()0⎨(3.1.3)⎩yx(),()==αyx′β00其中x∈[,]ab，x在区间[,]ab上，解存在且唯一.0我们不在此给出冗长的证明过程，只介绍证明的思路.令z=y′之后，原方就变成了如下的方程组.⎧z′=−pxzqxy()−()⎨⎩yz′=这是一阶的齐次线性方程组.它与原方程等价.容易看出，与原方程等价的问题是，我们只要一般地证明下述初值问题的的解存在与唯一性就行了.⎧y′=+axyaxy()()1111122⎪⎨y′=+axyaxy()()(3.1.4)2211222⎪⎩yx(),()==αyxβ
5、1020证明的过程是，先设两个初始函数yy,(可以取yy==α,β)，代入(3.1.4)1,12,11,12,1式的右边，经过积分后，左边得到两个新的函数yy,，把新的函数再代入(3.1.4)1,22,2式的右边，又经过积分得到新的函数yy,，如此下去，这样就得到了一函数1,32,3序列{,}yy.然后证明这一函数序列是一致收敛于(3.1.4)的解的.这就是说，方1,nn2,程(3.1.4)一定是有解的，这就是解的存在性.由于这一函数序列是逐步逼近方程的解的，这一证明过程称为逐步逼近法.要证明解的唯一性，就假设有两对函数y()x，y()x和
6、z()x，z()x满足方1212程(3.1.4)，那么令uyzuyz=−,=−1112222对于初值问题⎧uaxuaxu′=+()()1111122⎪⎨uax′=+()uax()u(3.1.5)2211222⎪⎩ux()0,()0==ux1020其解一定为零，uu==0,0.(可以这样来看，仍然运用逐步逼近法，现在的初始12函数值uu==αβ0,==0.)因而，y≡≡zyz,.我们把定理叙述如下.1,12,11122定理1(解的存在唯一性定理)如果函数axij()(,=1,2)在含x的某一区间ij0[,]ab上连续，则在该区间上，初值问题(
7、3.1.4)有且只有一组解y==yxyyx(),().1122由唯一性定理的证明过程，我们也可以把唯一性定理叙述为：如果有两个函数y和y都满足(3.1.2)且满足同样的初始条件，那么，这两个函数是相等的，12y≡y.12对于高阶的齐次线性常微分方程，同样有解的存在与唯一性定理.证明的思路也与二阶的情况一样，先化成一阶线性微分方程组，然后用逐次逼近法证明.我们先介绍齐次方程解的结构，然后给出非齐次方程解的表达式.3.1.2齐次方程解的结构(1)基本解组定义4设有两个函数y()x和y()x，如果存在两个不同时为零的常数c和121c，使得2cyx
8、cyx()+=()0(3.1.6)1122在区间[,]ab上恒成立，我们就说y()x和y()x是在区间[,]ab上线性相关的.反之，12如果只有当c和c同时为零，(3.1.6)式
