人教版初中《第章抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案

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1、第24章抽屉原理和容斥原理24.1抽屉原理24.1.1★在任意的61个人中，至少有6个人的属相相同．解析因为一共有12种属相，把它看作12个抽屉，，根据抽屉原理知，至少有6个人的属相相同．评注抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理．这一简单的思维方式在解题过程中却可以有很多颇具匠心的运用．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现．许多有关存在性的证明都可用它来解决．抽屉原理1如果把件东西任意放入个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西．抽屉原理2如果把件东西任意放人个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，这里其中表示不超过的最大整数

2、，例如，，等等．24.1.2★从2，4，6，…，30这15个偶数中任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34．解析把2，4，6，…，30这15个数分成如下8组（8个抽屉）；（2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）．从2，4，6，…，30这15个数中任取9个数，即是从上面8组数中取出9个数．抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是34．24.1.3★★在1，2，3，…，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过；，{2，3}，{4

3、，5，6}，{7，8，9，10}，{11，12，…，16}，{17，18，…，25}，{26，27，…，39}，{40，41，…，60}．{61，62，…，91}，{92，93，…，100}．从1，2，…，100中任取11个数，即是从上面10组中任取11个数，由抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过．24.1.4★求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除．解析任何数除以3所得余数只能是0、1、2，分别构造3个抽屉：{0}、{1}、{2}．（1）若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，从这

4、三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除．（2）若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽屉必包含有个余数，而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个整数之和是3的倍数．（3）若这5个余数都能分布在其中的一个抽屉中，易知必有3个整数之和能被3整除．24.1.5★★从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，才能使得其中一定有两个数，大的数是小的数的倍数．解析从1，2，…，20中取11，12，…，20这10个数，其中没有一个数是另一个数的倍数．把1，2，…，20分成如下10组：{1，2，，，}，{3，，}，{5，，}，

5、{7，}，{，}，{11}，{13}，{13}，{15}，{17}，{19}，从中任取11个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的倍数．所以，至少任取11个数才能满足题意．24.1.6★★在不超过100的正整数中任取55个不同的数，在这55个数中：（1）是否一定有两个数的差等于11？（2）是否一定有两个数的差等于9？解析（1）不一定，例如，，，，这55个数中，任意两数的差都不等于11．（2）一定．把1，2，…，100分成如下54组：{1，10}，{2，11}，…，{9，18}，{19，28}，…，{81，90}，{91，100}，{92

6、}，{93}，…，{99}．从中任取55个数，一定有两个数取自同一组，它们的差等于9．24.1.7★★证明：在任意的52个正整数中，一定可以找到两个数、，使得或能被100整除．解析把这52个正整数都除以100，考虑52个余数，若其中有两个相同，则它们的差能被10整除，若其中任意两个都不相同，则它们的差能被100整除，若其中任意两个都不相同，把0，1，…，99分成如下51组：{1，99}，{2，98}，…，{49，51}，{0}，{50}．从中任取52个数，车琮有两数（的余数）取自同一给，这两数的和或差能被100整除．24.1.8★★某学校的初

7、三年组的同学要从8名候选人中投票选举三好学生，规定每人必须从这8名候选人中任意选两名，那么至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5名同学投了相同的两个候选人的票？解析从8个人中任意选2人，不同的选法共有（种），即有28个抽屉．由抽屉原理，当投票的人不少于人时，就能保证必有不少于5名同学投了相同两个候选人的票．而当112个人投票时，不一定有不少于5名同学投了相同两个候选人的票．所以，到少有113人投票时，能保证必有不少于5名同学投了相同两个候选人的票．24.1.9★在1，11，111，…，，…，中，是否有2007的倍数？解析答案是肯定的．考虑

8、以下2007个数：1，11，111，…，，若它们都不是2007的倍数，则它们除以2007所得的余数中一定有两个是相同的，不妨设为和，于是，．而（2007，）=1，所