待定系数法求圆锥曲线方程

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1、待定系数法求圆锥曲线方程山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：一是定义法；二是待定系数法。待定系数法的实质是方程思想的体现，即在确定了圆锥曲线类型的前提下设出方程，利用题中的条件将待定量与已知量统一在方程关系中求解。其整个思维过程可概括为三步（1）先定性（何种圆锥曲线）；(2)后定形（哪种形式的方程）；（3）再定参（建立方程解）。下面就如何用待定系数法求圆锥曲线的标准方程，以及求解过程中需注意的有关问题，通过例题加以分析。类型一圆锥曲线类型、方程形式确定，参数待定型例1.

2、已知点与抛物线的焦点的距离是，则_____．解析：∵抛物线的焦点坐标是，由两点间距离公式，．解得．答案：．例2.（08高考天津文7）设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则椭圆的方程为()（A）（B）（C）（D）解析：抛物线的焦点坐标是，即椭圆的右焦点坐标是，即半焦距为2，又离心率为，所以，得，而，故答案选B。点评：以上两例均是已知圆锥曲线的类型和方程的形式，只需通过题设条件构造关系式，待定参数即可。类型二圆锥曲线类型确定、方程形式待定型例3.（08高考天津文理21第一问）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是

3、，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；解：设双曲线的方程为，由题设得解得所以双曲线的方程为．例4.（1）已知三点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）。10求以F1F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；20设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P‘、F1’、F2‘，求以F1’、F2‘为焦点且过点P‘的双曲线的标准方程。（2）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点的抛物线的标准方程．解析：10由题意可设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，其半焦距c=62a=

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=，∴a

8、=3,b2=a2-c2=9.所以，所求椭圆的标准方程为=1。20点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为P‘（2，5）、F1’（0，-6）、F2‘（0，6）。设所求双曲线的标准方程为=1（a1>0,b1>0）由题意知，半焦距c1=6,2a1=

9、

10、P’F1’

11、-

12、P’F2’

13、

14、=

15、a1=2,b12=c12-a12=36-20=16所以，所求双曲线的标准方程为=1（2）由已知所求的抛物线开口向左或向下．若抛物线开口向左，设抛物线方程为，将的坐标代入得，此时抛物线的标准方程为；若抛物

16、线开口向下，设抛物线方程为，将点的坐标代入得，此时抛物线的标准方程为．所以满足条件的抛物线的标准方程为或．点评：本题常犯的错误是忽视标准方程的种类致误，导致漏掉其中的某种情况，如（2）中要么认定所求的抛物线开口向左，要么认定开口向下．我们在解决这类问题时应该结合图形分析判断所求圆锥曲线的所有可能情况．类型三圆锥曲线类型、方程形式均待定型例5．如图，直线是两条互相垂直的直线，垂足为，点在直线上．以、为端点的曲线段上的任意一点到的距离与到点的距离相等．若为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．解析：由

17、于曲线段上的任一点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，故这一曲线段是一抛物线段，且以点为焦点，为准线．建立如图所示的直角坐标系，其中原点为的中点．设曲线段的方程为．由于、，且，．所以，且，解得或．∵是锐角三角形，∴，∴，再由点在抛物线上，∴，∴所求曲线段的方程是．点评：为使得到的方程形式最简单，同时也使自己解题最简捷，应根据抛物线的标准方程特征去建立相应的直角坐标系．本题求的是曲线段的方程，其中就有相应的范围，在解题中不要忽略了这一点．通过以上的分析我们不难得出，待定系数法求曲线方程可总结如下四步：（1）弄

18、清题中出现的圆锥曲线的基本量（如半长轴，半焦距、离心率等）；（2）根据条件确定需待定的系数并设出方程；（3）列方程（或方程组）并解之；（4）检验方程可能存在的不同形式。