线性代数与化学的联系

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1、论文主题：线性代数与化学的联系线性代数与化学的联系之前学线性代数的时候并没有意识到它与其他学科有多大的联系，现在学到物理化学，就很明显的感觉到它与线性代数密不可分。倘若线性代数的基础打得很牢固，学物理化学就会比较轻松。所以借这个机会正好可以把线性代数复习一下。其实线性代数作为高等院校各专业一门重要的数学基础课程，它不但广泛应用于微分方程、概率统计、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其他各种学科，如工程技术、科学计算、经济管理等领域。矩阵在图论、确定比赛胜负方面有广泛应用。线性方程组在化学方程式的平衡问题、交通

2、流量问题、投入产出模型方面大有作为。向量组的极大无关组在求最小值方面举足轻重。特征值与特征向量应用于环境保护与工业发展问题，矩阵高次幂应用于人口流动问题。因此线性代数在加强逻辑思维和创造性思维、培养创新能力方面无疑起着至关重要的作用。一、线性方程组被广泛应用于化学方程式的平衡问题。举个例子来说，在光合作用过程中，植物利用太阳光照射将二氧化碳和水转化成葡萄糖和氧气，该反应的化学反应式如下：x1CO2+x2H2O=x3O2+x4C6H12O6为使反应式平衡，必须选择恰当的x1，x2，x3，x4才能使反应式两端的碳原子、氢原子及

3、氧原子数目相等。由于1个CO2分子含有1个C原子，而1个C6H12O6分子含有6个C原子，为了维持平衡，必须有x1=6x4，同样的，为了平衡O原子,H原子，必须有2x1+x2=2x3+6x4,2x2=12x4，将所有未知量移至等号左边，那么将得到一个齐次线性方程组x1-6x4=02x1+x2-2x3-6x4=02x2-12x4=0为了使方程组有非零解，为了使化学反应式两端平衡，必须找到一个每个分量均为正整数的解(x1，x2，x3，x4)T（T代表转置）。按通常解法可以取x4作为自由未知量，且有x1=6x4x2=6x4x3=

4、6x4特别地，取x4=1时，则x1=x2=x3=6，此时化学反应式为：6CO2+6H2O=6O2+C6H12O6这样一来，一个化学平衡的问题就用线性代数的知识得到了有效的解决。虽然解决化学方程式平衡的问题不止这一种方法，这也不是最简单的方法，但是它说明的是解决问题的一种途径，一种数学与其他学科的融合。它代表着一种现象，在越来越发达的社会，各个学科的联系也日趋紧密，我们只有掌握好全方位、综合性的知识才能有用武之地。二、线性代数被广泛应用于物理化学中量子力学的问题。在大自然中许多现象是线性变化的。以物理学为例，整个物理世界可以

5、分为机械运动、电运动、量子力学的运动。而机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，这是一个基本的线性微分方程。电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。物理化学中状态函数在数值上是一个线性全微分方程。而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程也是线性方程组。让我感触最深的是近来物理化学所学的种种与线性代数相关联的公式和假设。在物理化学中有5个基本假设。假设Ⅱ中提到，对一个微观体系的

6、每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符。线性算符的定义：同时若算符Â满足∫y1*Ây2dt＝∫y1(Ây2)*dt或∫y1*Ây2dt＝∫y2(Ây1)*dt则算符Â称为厄米算符，又称为自共轭算符或自轭算符。这与线性代数中的线性方程的本质是一致的。线性(linear)，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。所以我们就有了判断一个算符是否为线性算符和自轭算符的依据。因此由定义可知为线性算符;而为线性自轭算符

7、。其推算步骤就是线性代数与量子力学紧密联系的体现。在这个演算过程中，两个不同学科的融合显得尤为重要，更能体现数学作为一种研究工具，解决了许多其他学科的问题。下表是部分可观测的力学量对应的算符力学量算符力学量算符位置x，时间t势能V 动量的x轴分量px动能T=p2/2m 角动量的z轴分量 总能量E=T+V 量子力学需要使用线性自轭算符，是为了使和算符对应的本征值能为实数。假设Ⅲ中提到，若某一力学量A对应的算符Â作用于某一状态函数y后，等于某一常数a乘以y，即Ây＝ay，那么对y所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的

8、数值a，a称为力学量算符Â的本征值，y称为Â的本征态或本征函数，Ây＝ay称为Â的本征方程。而我们在线性代数中学到，设A是一个n阶方阵，如果存在一个实数λ以及一个非零n维列向量α，使得Aα=λα，则称为λ为矩阵A的特征值，α称为矩阵A的特征向量。这与本征值和本征函数是一脉相承的，二者关系之密切由此可见。