数学建模示例2优化

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1、27数学建模示例------郭洪奇第四章优化、规划模型在实际生活中，特别是在工程技术、经济管理和科学研究领域中存在着很多优化模型，如投资的成本最小、利润最大问题，路线最短问题，货物的运输调度问题，风险证券投资中的收益最大，风险最小问题。优化模型大致的可以分成两大类：无约束优化模型和约束优化模型。无约束优化模型即求一个函数在定义域内的最大值或最小值，这类问题往往可以使用微分的方法得到最终的结论，如一元及多元函数的最值归结为求函数的驻点；约束优化模型即求函数在一些条件约束下的最优解，对于等式约束的问题，可以使用了数学软件等求解。在建模过程中需要解决的问

2、题的基本步骤为：（1）确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）（2）确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）（3）确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）（4）模型求解（使用数学工具或数学软件求解）（5）结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等）例1：森林救火模型。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；

3、队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析：总的目标是确定队员数量使得损失费与救援费的总和最小。决策变量应当是消防队员的数量。（1）损失费：损失费由大火熄灭时，被烧毁的森林面积B决定，若假设单位面积损失为c1，则损失费为c1B。将起火的时间定为0，开始灭火的时间设为t1，灭火结束的时间为t2，因此烧毁的森林面积为B（t2）。在[0，t1]中，由于没有人员参与灭火，火势蔓延的速度可以认为与时间成正比，而蔓延的速度直接影响到被烧毁的森林圆的半径，从而在[0，t1]内，B（t）与时间的平方成正比。在[t1，t2]区间内

4、，由于灭火的影响，火势的蔓延速度减慢，与参与的队员人数即每个队员的灭火能力成反比，结果在时刻t2，蔓延速度将为0，即火被扑灭。（2）救援费：影响救援费的因素有两个，救援队员的人数与救援的时间，而这两个因素之间也是相关的，人数多则救援时间短，反之，人数少则救援时间长。因此在考虑救援费时，必须考虑单位时间内每个队员的费用。例2：最优价格模型。27数学建模示例------郭洪奇例3：存贮货物模型。27数学建模示例------郭洪奇例4：血管分支模型。27数学建模示例------郭洪奇例5：冰山运送模型。27数学建模示例------郭洪奇例6：空气污染管理

5、问题。诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展作出了一定的贡献。但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理，致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表1的要求时，方满足环保的要求。表1（环保部门的空气清洁标准）污染物每年须减少的污染物排放量（百万磅）微粒60氧化硫150碳化氢125污染物的主要

6、来源为：（1）制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表2），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。表2（各减污法每年最高可能减少的污染排放量（百万磅））污染物增高烟囱安装过滤器使用优质燃料鼓风炉敞炉鼓风炉敞炉鼓风炉敞炉微粒12925201713氧化硫354218315649碳化氢37532824

7、2920专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表3所示。而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。表3（最高减污法之总成本：以百万元为单位）减污法鼓风炉敞炉增高烟囱810过滤器76优质燃料1192）假设与模型的建立工程实施的关键在于既要确保排污效果能达到环保部门的要求，又要最大限度地降低成本（不超过其所能承受的底限）。由于问题的解决具有组合性，故可考虑用线性规划模型求解，假设决策变量分别表示各减污法中最高成本的比例值（见下表）减污方法鼓风炉敞炉增高烟囱过滤器优质燃料则其目标函数为：约束条件

8、为：求解：27数学建模示例------郭洪奇得：工程造价为：若问题的最优解3215.9万元未超过公司所能承受的底限，则该治