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1、8-4椭圆基础巩固强化1.(2011·东莞模拟)设P是椭圆+=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则
2、PF1
3、+
4、PF2
5、等于( )A.4 B.5 C.8 D.10[答案] D[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴
6、PF1
7、+
8、PF2
9、=2a=10.2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx2+ny2=1,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴需有:∴m>
10、n>0,故互为充要条件.3.(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2,焦点为F1、F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.以上都不是[答案] A[解析] 画出草图(图略),根据题意可得e==cos45°=,故选A.(理)(2012·新课标全国,4)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法.设直线x
11、=与x轴交于点M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系,从而确定离心率的值.4.(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆+=1的焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是( )A.B.3C.D.[答案] A[解析] F1(0,-3),F2
12、(0,3),∵3<4,∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.设P(x,3),代入椭圆方程得x=±.即点P到y轴的距离是.(理)(2012·抚顺质检)椭圆+y2=1的左、右焦点为F1、F2,点M在椭圆上,·=0,则M到y轴的距离为( )A.B.C.D.[答案] B[分析] 条件·=0,说明点M在以线段F1F2为直径的圆上,点M又在椭圆上,通过方程组可求得点M的坐标,即可求出点M到y轴的距离.[解析] 解法1:椭圆的焦点坐标是(±,0),点M在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3
13、-x2,代入椭圆得+3-x2=1,解得x2=,即
14、x
15、=,此即点M到y轴的距离.解法2:由·=0知,MF1⊥MF2,∴∴由
16、MF1
17、2=t·
18、F1F2
19、得t=+,∴M到y轴的距离为t-=.解法3:设M(x0,y0),则+y=1,∴y=1-,①∵·=0,∴MF1⊥MF2,∴
20、MF1
21、2+
22、MF2
23、2=
24、F1F2
25、2=4c2=12,又F1(-,0),F2(,0),∴(x0+)2+y+(x0-)2+y=12,将①代入解得x0=±,∴M到y轴的距离为.[点评] 满足·=0(其中A、B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是
26、以线段AB为直径的圆.5.(文)已知F是椭圆+=1的一个焦点,AB为过其中心的一条弦,则△ABF的面积最大值为( )A.6B.15C.20D.12[答案] D[解析] S=
27、OF
28、·
29、y1-y2
30、≤
31、OF
32、·2b=12.(理)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.16[答案] B[解析] 直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M、N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.6.(文)(2011·安徽省
33、皖北联考)椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为( )A.20B.22C.24D.28[答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0),点P在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=25,代入椭圆方程得y2=,即
34、y
35、=,所以S△PF1F2=×10×=24,故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解.由定义知,
36、PF1
37、+
38、PF2
39、=14 (1),由△PF1F2为直角三角形及c==5得
40、PF1
41、2+
42、PF2
43、2=100 (2),(1)式两边平方与(
44、2)式相减得:
45、PF1
46、·
47、PF2
48、=48,∴S△PF1F2=
49、PF1
50、·
51、PF2
52、=24.(理)(2011·河北唐山市二模)P为椭圆+=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则·等于( )A.3B.C.2D.2[答案] D[解析] 由题意可得
53、F1F2
54、=2,
55、PF1
56、+
57、PF2
58、=4,
59、F1F2
60、2=
61、PF1
62、2+
63、PF2
64、2