数学归纳法一(日照实验高中导学案)

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1、日照实验高中2007级导学案——推理与证明2.3.1数学归纳法(一)学习目标:了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.学习重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学习难点：数学归纳法中递推思想的理解.自主学习:一.知识再现1综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.2分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上

2、溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.3反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二.新课探究1.定义:设是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题(或)成立;(2)在假设成立的前提下，推出也成立，对一切正整数都成立.2.数学归纳法步骤:①证明当n取第一个值n0时命题成立；②假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题

3、对从n0开始的所有正整数n都成立.三.例题解析例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2证明：①当n=1时，左边=13=1，右边=，故等式成立．——3分②假设n=k（，且k≥1）时等式成立．即13＋23＋33＋…＋k3＋=k2(k+1)2成立．——5分则当n=k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k+1)3==．教师备课学习笔记即当n=k＋1时等式也成立．——11分综合①，②，对一切，等式都成立．例2．数列｛an｝的通项公式为an=，记f(n)=（1－a1）（1－a2）…（1－an），求f(1)，f(2

4、)，f(3)．推测f(n)的表达式，并证明你的结论．解：f(1)=1－a1=1－f(2)=f(1)·（1－a2）=f(3)=f(2)·（1－a3）=——3分由此猜想：f（n）=——7分用数学归纳法证明如下：①n=1时，已求得f⑴=，又，因此猜想正确．②设n=k（k≥1，）时猜想正确，即f（k）=正确．则当n=k＋1时，f（k＋1）=f（k）·（1－ak＋1）==即当n=k＋1时猜想正确．综合①，②，f（n）=对一切都成立．课堂巩固1..用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋…＋xn＋1=”成立时，验证n=1的过程中左边的式子是()

5、(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋…＋x2教师备课学习笔记2某个命题与自然数n有关，如果当n=k时成立那么可推得n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得()(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立3用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋cos5α＋…＋cos（2n－1）α=，在验证n=1时，等式右边的式子是．归纳反思：合作探究：1证明教师备课学习笔记2.存在常数a、b、c使得等式一切自然数n都成立，试

6、证明你的结论.教师备课学习笔记