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1、第三章线性方程组第一节线性方程组与矩阵的行等价一线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法.这里研究一般的一次方程组.定义3.1多元一次方程组称为线性方程组.方程组有个方程,个未知数(),而(;)是未知数的系数,()是常数项.如果(),则称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.数组是方程组的一个解,如果用它们分别代替方程组中的未知数,可以使方程组变成等式组.方程组的全部解的集合称为方程组的通解.相对于通解,称方程组的一个解为特解.定义3.2如果两个线性方程组有相同的通解,则称它们同解.按照定义,两个方程组同解是指它们的解的集合相等.集合相等是一种等
2、价关系,因此方程组同解也是一种等价关系.特别,方程组同解具有传递性.通过消元,可将线性方程组变成比较简单的同解方程组,从而得到原方程组的解.例3.1解线性方程组.解从上向下消元,得同解方程组.这种方程组称为阶梯形方程组.从下向上消元,得同解方程组.再除以第一个未知数的系数,得线性方程组的解,,.解线性方程组的基本方法是加减消元法.求解过程中常用三种运算.定义3.3下列三种运算称为方程组的初等变换.(1)交换两个方程的位置;(2)用一个非零常数乘以一个方程;(3)将一个方程的倍加到另一个方程上去.注意如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组,则也可以用初等变
3、换将后者变成前者.即初等变换的过程是可逆的.定理3.1用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.69证先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解,则它满足方程组中的每一个方程.此后,无论进行的是哪种初等变换,这组数也满足新方程组的每个方程,因此是新方程组的解.反之,由于初等变换的可逆性,新方程组的解也是原方程组的解.因此,两个方程组同解.最后,由于方程组同解的传递性,进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二矩阵的行等价用矩阵乘法,可以将线性方程组写作,称为线性方程组的矩阵表示.其中矩阵称为方程组的系数矩阵,列矩阵称为未知数(矩阵),列矩阵称为常数
4、(矩阵).此时,线性方程组可以简写作.如果数组是线性方程组的解,令列矩阵,则有矩阵等式.列矩阵是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列,得到分块矩阵,称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的.因此,可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言.从线性方程组的初等变换,产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4设是矩阵,则下列三种运算称为对矩阵的行初等变换.(1)交换的两行;(2)用非零常数乘以的一行;(3)将的一行的倍加到另一行上去.定义3.5如果通过行初等变换,可以将矩阵变成矩阵,则称矩阵与行等价.记作.仿照定理3.1的证明,可以得到下
5、面的结果.性质3.1行等价是一种等价关系,即具有下述性质.(1)反身性:;(2)对称性:如果,则;(3)传递性:如果,,则.当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别.矩阵的相等是一种等价关系,已经用等号表示为.作为矩阵的另一种等价关系,行等价使用符号.用矩阵的行等价的概念,可以将定理3.1写作:定理3.2如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.69通过初等变换,可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组.换成矩阵的语言,通过行初等变换,可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0,则称为零行,否则称为非零行.定义
6、3.6具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1)非零行在上,零行在下;(2)每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2用行初等变换化简矩阵.解做行初等变换,得.经过消元,得到的已经是行阶梯形阵.继续消元,得.最后,每行除以其首元素,得.定义3.7具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1)每个非零行的首元素等于1;(2)包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中,最后得到的是行最简阵.由以上的讨论,可得下面的定理.定理3.3对于任意矩阵,存在一个行最简阵,使得与行等价.如果矩阵与行阶梯形阵行等价，则称是的行阶梯形阵.如果与行最简阵行等
7、价,则称为矩阵的行等价标准形.其实,例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵.而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样.唯一的区别在于这里只有系数和常数,没有未知数和等号.由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定,缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11.写出线性方程组的系数矩阵与增广矩阵,并用消元法求解.692.设线性方程组的增广矩阵为,写出该线性方程组,并用消元法求解.3.求下列矩阵的行等价标准形.（1）;(2);(3);(4).4.求的值,使得矩阵的行等价标准形恰有两个非零行.第二节矩阵的秩一
