初中相似三角形例题

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1、相似三角形更多资料请参考360网址之家一、知识结构同学们在本章中主要学习的内容是比例和比例线段的有关概念，相似角形的概念、性质和判定，以及相似三角形的应用。下面给同学们介绍本章知识的相互联系，它们可用知识框结构表示：有关概念比例比例的内容、外项和第四比例项比例中项线段的黄金分割比例比例性质基本性质：更比定理：合比定理：等比定理：=(b+d+…+n≠0)线段比与比例线段画第四比例项平行线分线段成比例相似三角形的判定相似三角形嘉善四中吴泉林制作---1---相似三角形应用直角三角形相似的判定相似三角形的性质嘉善四中吴泉林制作---1---二、重点、难点同学们可以从知识框图中看出：本章学习重点是相

2、似三角形的性质和判定。难点：比例性质及相似三角形性质的综合应用。三、学习辅导㈠比和比例解题中的一个辅助常数——K值在等比定理的证明中，我们设已知比等于K，构通了比的各项之间的关系，这一思想具有一定的普遍性，如果题的条件中有相同的比，欲求值或求证的代数或中含有适当的齐次多项式（各项次数都相同的多项式），常用这个辅助常数—比值K.例1．已知，求的值解：设，则x=2k,y=3k，z=7k=说明：本题设已知等比的值为是为了便于运算例2．已知求的值解：设=k，则a=bk，b=ck，c=dk，d=ak.∴a+b+c+d=(a+b+c+d)k，当a+b+c+d≠0时，利用等比性质，k=∴a=b=c=d，∴

3、=；当a+b+c+d=0时，a+b+c=－d.∴==0说明：应用等比性质时，必须注意分母不等于零。若题中没有这一条件，应分类讨论。嘉善四中吴泉林制作---1---例3．已知.求证=a2+c2证明：设=k则a=bk，c=dk.左式===k2(d2+d2)=(bk)2+(dk)2=a2+c2=右式例4解方程组解：设，则x=4k，y=3k，z=5k，代入第2个方程，得8k－9k=38t－20k.∴k=2t例5如图，在梯形AGHB中，AB∥CD∥EF∥GH，且面积S1=S2=S3求证：AB2+GH2=CD2+EF2证明：设GA，HB的延长线相交于P∵AB∥CD∥EF，∴△PAB∽△PCD∽△PEF∴

4、S△PAB∶S△PCD∶S△PEF=AB2∶CD2∶EF2设===K则S△PAB=k·AB2，S△PCD=k·CD2，S△PEF=k·EF2，∵S1=S2，∴S△PCD=S△PAB=S△PEF=S△FCD，得k·CD2－k·AB2=k·EF2－k·CD2化简得2CD2=AB2+EF2，……………………………………①同理，2EF2=CD2+GH2………………………………………②①+②得2CD2+2EF2=AB2+CD2+EF2+GH2，即AB2+GH2=CD2+EF2.例6．如图，△ABC中，若a∶b∶c=4∶5∶6,求证：∠ACB=2∠A嘉善四中吴泉林制作---1---证明：作角平分线CD，

5、DE∥BC，交AC于E，于是∠1=∠2=∠3，DE=EC，且，∴，∴=，即设则a=4k,b=5k,c=6k,代入上式，得，∴BD=k在△DBC和△CBA中，∵，∠B是公共角，∴△DBC∽△CBA，∴∠A=∠2=∠ACB，∠ACB=2∠A说明：在例5，6中，利用辅助元可便于计算线段的长，为推理带来方便。㈡相似三角形解题中的平行线在相似三角形的学习中，平行线的性质和判定都得到了扩展，介绍了平行线分线段成比例定理，三角形一边的平行线的性质和判定，解题时，要充分运用平行线的性质，转化有关线段的比，还要巧妙地添辅助平行线，使一组比用另一组比来代替，便于得到所需要的相似三角形或其它熟悉的图形，同时还应自

6、觉地想到用比例线段判定两直线平行的方法，突破用三线八角进行判定的思维局限。例1．如图在□ABCD中P，Q三等分AC，DP的延长线交BC于E，EQ的延长线交AD于F，已知BC=18，求AF的长。分析：末知线段AF与已知线段BC怎样联系起来？可逐步过渡：AD∥BC，可求AF与EC的比例关系，EC与AD的比例关系，而AD=BC，AF便可用BC来表示。解：∵AD∥BC，∴△AQF∽△CQE，△CPE∽△APD嘉善四中吴泉林制作---1---，两式相乘，又∵AD=BC=18，∴AF=4.5例2．如图，△ABC中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线分别与AC，AB相交于E，F，求证：EF∥BC

7、分析：欲证EF∥BC，没有角的条件，没有所需的比例线段，因此想到过P画BC的平行线，构造出所需的比。证明：过P作MN∥BC，与AB，AC分别交于M，N，则，又∵BD=DC，∴MP=NP，于是由，得又，∴，∴EF∥PN∴EF∥BC例3．如图O是△ABC内的任意一点，AO，BO，CO分别与BC，AC，AB交于D，E，F，求证：分析：我们希能使每一个比都与△ABC的元素发生关系，作OG⊥BC，AH⊥BG，G，H为垂