第二章 平面力系的简化与合成

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1、第二章  平面力系的简化与合成引言      在工程实际中，作用于物体上的力系往往是较为复杂的。研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。   本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。　　基本要求   1、掌握投影及力矩的求法；   2、理解力偶的概念及性质；   3、掌握各种平面力系的简化方法；   4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。第一节　平面汇交力系的合成　　各力的作用

2、线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。　　一、投影的概念及求法　　力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。   在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。具体说明如下：   设力Ｆ作用于物体上的Ａ点，其作用线为ＡＢ，在力Ｆ的作用线所在的平面内建立直角坐标系。浏览器不支持嵌入式框架，或被配置为不显示嵌入式框架。 

3、  从力Ｆ的两个端点Ａ、Ｂ分别作x轴的垂线，得垂足a、b，在线段ab前冠以适当的正负号，就称为力Ｆ在x轴上的投影，记作；同样从Ａ、Ｂ分别作y轴的垂线，得垂足、，在线段前冠以适当的正负号，就称为Ｆ在y轴上的投影，记作。  力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a或a¢）到末端对应的垂足（b或b¢）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。如图2-1中，取正值，取负值。   若力Ｆ的大小为，它与x和y轴所夹的锐角分别为α、β，则Ｆ在x、y轴上的投影分别为：                        　　　　　　       

4、    上式表明，力在坐标轴上投影的大小，等于力的大小与力与该轴所夹锐角的余弦的乘积。   不难看出，当力与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的方向与坐标轴的正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影等于零。   由投影的定义式可知，力在坐标轴上的投影仅与力的大小、方向有关，而与力的作用点或作用线的位置无关，它仅表征了力的大小、方向对力的作用效应的影响.   前面讲述了已知力求投影的方法，反过来，若已知力Ｆ在坐标轴上的投影和，也可以求出力Ｆ的大小和方向。                                  

5、            式中，表示力Ｆ的大小，a表示Ｆ与x轴所夹的锐角，Ｆ的具体指向可由Ｆx和Ｆy的正负确定。显然，时，Ｆ指向右上方；时，Ｆ指向右下方；时，Ｆ指向左上方；时，Ｆ指向左下方。   必须指出，投影和分力是两个不同的概念，分力是矢量，投影是代数量，分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关，它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才和同一轴上的投影的绝对值相等。   二、合力投影定理   投影表征了力对物体一种效应的，同时，合力与分力又是等效的，那么，二者的投影间有何关系呢？   可以证明，当刚体受Ｆ1、Ｆ2……Ｆn组成的平面汇交力系的

6、作用时，   若Ｒ＝Ｆ1＋Ｆ2＋……＋Ｆn   则Ｒx＝Ｆ1x+Ｆ2x＋……＋Ｆnx＝ΣＦx 　　　Ｒy＝Ｆ1y+Ｆ2y＋……＋Ｆny＝ΣＦy上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。   既然合力投影与分力投影之间的关系对任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，我们就应注意坐标轴的选择，尽可能使运算方便。   三、平面汇交力系合成的解析法　　平面汇交力系的合成方法主要有几何法和解析法两种。几何法是根据力的平行四边形法则逐一合成，工程上应用较多的是解析法。其具体方法如下：   欲求平面汇交力系Ｆ1、Ｆ2……Ｆn的合力，首先建立直角坐标系

7、，并求出各力在x、y轴上的投影，然后根据合力投影定理计算合力Ｒ的投影和，最后根据公式（2-2）求出合力的大小和方向：       　式中，Ｒ为合力的大小，θ为Ｒ与x轴所夹的锐角，Ｒ的具体指向仍由和的正负确定，合力的作用点在力系的汇交点。   例题：如图所示，在O点作用有四个平面汇交力，已知F1＝100N，F2＝100N，F3＝150N，F4＝200N，试求该力系的合力。需注意的是，所选坐标系不同，力系合成的结果一样，但繁简程度也不同，解题时，将坐标轴选取在与尽可能多的力垂直或平行的方向，可简