平面力系的简化与平衡方程

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1、工程力学（上）网上辅导（4）第四章平面力系的简化与平衡方程一、本章知识点：1．平面任意力系简化2．平面任意力系的平衡3．物体系的平衡问题4．考虑摩擦的平衡二、重点内容介绍：（一）平面任意力系的简化1．平面任意力系力系中各力的作用线都在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。如教材图4－1，荷载（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一点；有两种特殊情况：平面平行力系：各力全部平行；平面汇交力系：各力全部汇交一点。2．平面任意力系向一点的简化主矢主矩这一点称为简化中心。主矢等于力系中各力的矢量和；力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和。平面任意力系

2、向平面内任选的简化中心简化。简化结果：（1）等效于一个力和一个力偶的共同作用，既非一个合力也非一个力偶；（2）主矢与简化中心位置无关，即对于任一点主矢都等于原力系各力的矢量和，确定其大小和方向；（3）主矩一般与简化中心的位置有关3．力系简化的方法：（1）将复杂的平面力系用力向一点平移的方法分解为平面汇交力系和平面力偶系；（2）分别按两种力系的合成方法简化得到主矢与主矩。4．主矢的计算主矢可以用代数方法，由X，Y轴的投影合成。将复杂的问题分解为简单的几个问题，分别进行分析，再合成，这是解决复杂问题的有效方法教材例题4－1：在边长为的正方形的四个顶点上，作用有、、、等四

3、个力，如图。已知、、、。试求该力系向A点简化的结果。分析：原题直接向A点简化，我们用不同的方法简化，同学们可体会主矢与主矩的特性。力系先向B点简化，得到主矢与，再向A点平移主矢，可以与书中结果比较。简化所得主矢与书中相同，其分量只与各力分量的代数和有关，与矩心即简化中心无关。但与不同，用正方向表示（逆时针），其值为负表示实际方向为顺。主矢再向A点平移：再向A点平移应附加R''对A点的矩，加原B点的力矩。分解为与，所以主矢向A点平移的结果与教材相同，的实际方向为顺时针。5．平面力系简化结果讨论：（1）主矢不为零，主矩为零：汇交力系。可以通过力的平移，确定力的作用点（即

4、作用线）而简化为一个合力；主矢不为零，主矩不为零：任意力系。（2）主矢为零，主矩不为零：力偶系的合力偶矩；主矢为零，主矩为零：平衡力系。最后简化结果只有三种可能：合力、合力偶、平衡56．合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。（二）平面任意力系的平衡1．平面任意力系的平衡条件平面任意力系的主矢和主矩同时为零，即，是平面任意力系的平衡的必要与充分条件。2解析表达式――平衡方程上式为平面任意力系的平衡方程。平面任意力系的平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零，

5、以及各力对任意一点的矩的代数和等于零。三个方程可求解三个未知数。二矩式附加条件说明：若任意力系有一合力R，在A、B连线上，虽然R＝0，但如果AB垂直OX，则仍满足∑X＝0（当然另二个方程也满足），此三个方程不是相互独立的。三矩式其中A、B、C三点不能共线。若A、B、C三点共线，当合力R作用于此线上时，满足三个方程，但仍可能不为零。教材例4－5：十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水平力P的作用下各支座的约束反力。分析：若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解联方程式；若使用三矩式，选取三未知约束力的交点分别为矩心，则使一个方程只有一个未知力，求解方便（L，K，S

6、）三点不共线。这样求解还有一个好处，每个力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的错误的影响。解题步骤：1．取分离体，作受力图5取十字交叉梁为分离体，其上受主动力P、约束反力、和的作用。2．列平衡方程，求解未知力解：结论：1、一个受平面力系作用的物体，若平衡就必须满足平衡方程。2、一个受平面平移力系作用的物体，独立的平衡方程只有三个，只能解三个未知数。3．平面平行力系的平衡方程平面平行力系为一般力系的特例。∑X＝0自然满足（X轴为垂直平行方向）。只余下二个独立平衡方程。或（三）物体系的平衡1．物体系：是由多个物体（杆件）用结点（约束）联结在一起的物体系统。实际

7、结构一般都由多个杆件组成。（1）当物体系处于平衡状态时，该体系中的每一个物体也必定处于平衡状态；（2）如果每个物体都受平面力系的作用，可对每个物体写出三个平衡方程；（3）若物体系由n个物体组成，则可以写出3n个独立的平衡方程。2．受力分析特点：（1）取整体或局部分离体，解除全部约束，画出对应约束的约束力。（2）已知力按实际方向画，未知力需假设正方向。两个局部物体之间的约束未知力应按作用力与反作用力方向确定。教材例4－9如图所示结构由AB、CD、EF三个杆件组成，受均布荷载q及力P的作用，，求铰支座A的支座反力。分析：取适当的分离体，灵活应用不同的平衡方程公式。解