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1、第三章力系的简化和平衡方程第一节平面任意力系向作用面内一点简化在工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都在同一平面内(或近似地分布在同一平面内)，且任意分布的力系，当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视为平面任意力系的问题，本节主要讨论平面任意力系的简化，平面任意力系向作用面内一点简化的理论基础是力的平移定理。一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩vvv设刚体上作用一平面任意力系F1,F2⋅⋅⋅⋅⋅⋅Fn如图(3—1)。根据力的平移定理，将力系中诸力向平面内任一点O点平移，O点称为简化中心。这样得到作用于O点的力系vv
2、v'''F1,F2......Fn,以及相应的附加力偶系M1,M2......Mn。这些力偶作用在同一平面内,它们的vvv矩分别等于力F1,F2⋅⋅⋅⋅⋅⋅Fn对O点的矩,即:vvvM1=M0(F1)M2=M0(F2)M3=M0(F3)yFnR΄F1F΄nF΄m11MoAnmnxOA1OA2Om2F2F΄2(a)(b)(c)图3-1这样,平面任意力系分解成了两个简单力系:平面汇交力系和平面力偶系。v平面汇交力系可以进一步合成为一个力R′，该力的作用线通过简化中心O,其大小和方向由各分力的矢量和决定,即vnvnv''R=∑Fi=∑Fi(3—1)i=1i=1
3、vR′称为原力系主矢。若过O点作直角坐标系oxy，则主矢在x，y轴上的投影是nn''Rx=∑XiRy=∑Yi(3—2)i=1i=1由此可求主矢的大小和方向为:36''2'222R=Rx+Ry=(∑X)+(∑Y)(3—3)∑X∑Ycosα=,cosβ=''RR式中α，β分别为主矢与x，y轴间的夹角。平面力偶系可合成为一个力偶,这个力偶的矩等于各个附加力偶矩的代数和。它称为原力系对O点的主矩,用M表示,即0nvM0=∑mi=∑m0(Fi)(3—4)i=1结论：平面任意力系向作用面内一点O简化，可得一主矢和主矩，主矢等于力系中各个力的矢量和，作用线通过简化中心
4、O。主矩等于力系中各力对O点的力矩。由于主矢等于各力的矢量和，所以它和简化中心的选择无关，而主矩等于各力对简化中心力矩的代数和，当取不同的点为简化中心时，各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主矩和简化中心的选择有关，以后说到主矩时，必须指明是力系对哪一点的主矩。二、简化结果的讨论由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理量来研究力系简化的最后结果。v（一）若主矢R′=0，主矩M0≠0，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意nv力系的合力偶，合力偶矩等于M0=∑m0(Fi)。由力偶的性质可知，力偶
5、对任意点的力i=1矩恒等于力偶矩，所以，这时主矩与简化中心无关。v（二）若主矢R′≠0，主矩M0=0，则原力系等效于作用线通过简化中心O的一个合力。vvv''（三）若主矢R′≠0，主矩M0≠0，现将矩为M0的力偶用两个力R和R表示，并vvvvvvvv令R'=R=R''，去掉平衡力系'和R''于是将作用于点O的力R'和力偶(R,R'')合成为一Rv'个作用在点O的力R如图3—2所示。R΄′ROOORdRO΄΄″MRO΄O΄（a）（b）（c）图3-2v这个力R就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到
6、点O的距离d，可按下式计算。M0d=R37v（4）若主矢R′=0，主矩M0=0，原力系平衡，这种情形将在下节讨论。第二节平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系的平衡方程现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：vR=0（3-5）M0=0显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的平面汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加平面力偶系也是平衡力系，所以原力系必平衡，因此式（3-5）为平面任意力系平衡的条件。反之，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此式（3-5）又为平面任意力系平衡的必要条件。于是平面任意力系平衡
7、的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。若用解析式来表示，则有∑X=0∑Y=0（3-6）v∑m0(F)=0由此可得结论，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别为零，以及各力对于任一点的矩的代数和也为零。式（3-6）称为平面任意力系的平衡方程且为基本形式。Tx式（3-6）有三个方程，只能求解三个未知量。例3-1冲天炉的加料装置如图3-3所示，料斗车沿h与水平成θ=70°的倾斜轨道匀速上升，已知料斗车和炉料共重G=9807N，重心在C点，图上尺寸为CBNBa=0.4m,b=0.5m,e=0.2m,h=0.3
8、m，试求钢索拉力T和A、ANAbB轮对轨道的压力。yeGa解料斗车沿轨道作匀速直
