隐含在教材中的曲线的交点问题

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1、隐含在教材中的曲线的交点问题442000十堰市第二中学吴艳结论1、两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．由曲线方程的定义可知，两条曲线的交点坐标应该是两个曲线方程的公共实数解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点，方程组有没有实数解，两条曲线就有没有交点．也就是说两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线交点的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题．这是人教版《高中数学第二册（上）》第７１～７２页的内容．结论2、特别地，当两条曲线为

2、直线时两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．这是人教版《高中数学第二册（上）》第５０页的内容．结论3、两条曲线的方程是和，它们的交点是，求证方程的曲线也经过点（为任意实数）．这是人教版《高中数学第二册（上）》复习参考题七第８８页组第４题．作业1、求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线和的交点，且垂直于直线；（2）经过两条直线和的交点，且平行于直线；（3）经过两条直线和的交点，且垂直于第一条直线．这是人教版《高中数学第二册（上）》第５４页习题7.3第１１题．分析：经过直线与直线交点的直线可设为，但它不表示第一

3、条直线．比如人教版《高中数学第二册（上）》复习参考题七第８８页组第17题：已知直线通过点,求的值.此题可改为：求经过两直线共三页，第四页和交点，并且通过点的直线方程.此题也可改为作业４的类型．作业２、求经过两条曲线和交点的直线方程．这是人教版《高中数学第二册（上）》第72页习题7.5第9题．解：设所求直线方程为即：当时，此方程表示直线，所求直线方程为．　　所以两个相交圆公共弦所在直线方程就是两个圆的方程之差．作业3、求经过两圆和交点,并且圆心在直线上的圆的方程．这是人教版《高中数学第二册（上）》第82页习题7.6第8题．解：设所求圆方程为即：圆

4、心在直线上所求圆的方程为．作业4、求证：不论取任何实数，方程所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标．这是人教版《高中数学第二册（上）》第72页习题7.5第10题．解：共三页，第四页当时，此式恒成立．这就是两条直线和的交点．不论取任何实数，方程所表示的曲线必经过一个定点．作业５、已知圆，是否存在斜率为１的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．分析：若存在直线，则以为直径的圆可以看作是经过圆与直线交点的圆．解：假设存在直线，设以为直径的圆的方程为即：圆心在直线上，并且经过原点若存在这样的直线，它的

5、方程为或．学生懂得“结论3”，是知识；学生掌握“结论3”的步骤和过程（从活动的性质和特点来分析），是技能；但是判断什么时候使用“结论3”，在两条曲线不明显时，怎样构造两条曲线，则是能力了．作业５就是如此．曲线的交点问题，仿佛是编书的人有意识地把上述知识点分散到教材中去的，我们要通过归纳总结，恢复它的完整性．练习：１、求两圆和的公共弦的弦长．这是人教版《高中数学第二册（上）》复习参考题七第８８页组第２４题．２、求圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程．共三页，第四页共三页，第四页