12-05 离散型随机变量的期望值和方差

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1、12-05离散型随机变量的期望值和方差点一点——明确目标理解离散型随机变量的数学期望及方差的意义，能在其概率分布基础上求出它们.做一做——热身适应1.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于.解析：Eξ=np=7，Dξ=np（1－p）=6，所以p=.答案：2.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于.解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196.答案：0.1963.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机_

2、_______的质量较好.解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.答案：乙4.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=，∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5，Dξ=［（1－3.5）2+（2－3.5）2+（3－3.5）2+（4－3.5）2+（5－

3、3.5）2+（6－3.5）2］×==.答案：B5.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则结论正确的是A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－kD.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k解析：ξ～B（n，p），Eξ=10×0.01=0.1.答案：A理一理——疑难要点1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广.2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机

4、变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.拨一拨——思路方法【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ－101P1－2qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得q=1－.于是，ξ的分布列为ξ－101

5、P－1－所以Eξ=（－1）×+0×（－1）+1×（－）=1－，Dξ=［－1－（1－）］2×+（1－）2×（－1）+［1－（1－）］2×（－）=－1.评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ=（－1）×+0×（1－2q）+1×q2=q2－.拓展提高既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1

6、程组解之得或而x1

7、2）==2－（2p+），∵0

8、亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2