数学知识交汇研究论文

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1、数学知识交汇研究论文　　1．立体几何与平面解析几何的交汇　　在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型

2、题型的生长空间也相当宽广，这一点，在04高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。　　空间轨迹　　教材中，关于轨迹，多在平面几何与平面解析几何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述。如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间。　　例1，若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△数学知识交汇研究论文　　1．立体几何与平面解析几何的交汇　　在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章

3、，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在04高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。　　空间轨迹

4、　　教材中，关于轨迹，多在平面几何与平面解析几何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述。如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间。　　例1，若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是　　解：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴为小于1的常数，故轨迹图形应选。　

5、　例2，已知边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，在正方体表面上距A为的点的轨迹是正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。　　解：此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD—A1B1C1D1，各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，AA1DD1，AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为，∴这条曲线长度为。　　平面几何

6、的定理在立体几何中类比　　高考考纲对考生思维能力中明确要求“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述”，类比推理可考查考生利用旧知进行知识迁移、组合和融汇的能力，是一种较好地考查创新能力的形式，平面几何到立体几何的类比，材料丰富，操作性强，在历年高考中均有不俗表现。　　例3，由图(1)有面积关系：，则由图(2)有体积关系　　评注：数学结论的类比既需要数学直觉，也需要逻辑推理能力，它是高考考查创新能力的重要载体，从平面几何到立体几

7、何的结论类比，更是这一类考题蕴藏丰富的宝库，从三角形到三棱锥，从正方形到正方体，从圆到球等等，如果我们稍加留意，就会有很多收获。　　几何体的截痕　　例：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积。　　解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影　　椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时　　b=R，a==2R，∴离心率，　　投影面积S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。　　评注：囿于空间想象能力的限

8、制，几何体的截痕和投影是立体几何中的一个难点，也是具，有良好区分度的考题素材，因此有必要适当进行相应的训练，才能形成基本的解题策略。　　几何体的展开　　例：有一半径为R的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为　　解：设圆柱底面中心O，底面圆周上任一点P’’’’，过P’’’’的圆柱母线与截口交点为P，　　∠AOP’’’’=θ，则∵∠CBA=45°，作P’’’’Q⊥AB于Q，∴

9、PP’’’’

10、=

11、AC

12、－

13、AQ

14、=2R－=R，AP’