第四章习题与解答

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1、4控制系统的根轨迹4-1已知负反馈控制系统的开环传递函数为，试用解析法绘出从零变到无穷大的根轨迹图，并判断下列各点是否在根轨迹上：，，。-1ReIm解：特征方程；根轨迹方程，闭环极点；只有在根轨迹上。4-2已知开环零极点分布，试概略绘制出相应的180°根轨迹图。解：ReImReImReImReImReImReIm4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。⑴4-3(a)根轨迹⑵⑶解：⑴系统有三个开环极点：,,①实轴上的根轨迹：,7①渐近线：②分离点：解之得：，(舍去)。③与虚轴的交点：④特征方程为令解得与虚轴的交点（0，）。根轨迹如图解4-3(a)所示⑵根轨迹绘制如下：①实轴上

2、的根轨迹：,②渐近线：③分离点：4-3(b)根轨迹用试探法可得。根轨迹如图解4-3(b)所示。⑶根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,4-3(c)根轨迹②分离点：解之得：。根轨迹如图解4-3(c)所示。4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：7（1）确定产生纯虚根为的值和值；（2）概略绘出的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。解：（1）闭环特征方程有令实虚部分别等于零即：把代入得：，。（2）系统有五个开环极点：①　实轴上的根轨迹：②　渐近线：③　分离点：解得：,(舍去),(舍去)④　与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：解得：7图解

3、4-4根轨迹图，，（舍去）⑤　起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图解4-4所示。p20p1z1ImRe4-5已知负反馈系统的开环传递函数，其根轨迹见右图。试从数学上证明：复数根轨迹部分是以为圆心，以21/2为半径的一个圆。证明：(大范围，具有一个零点的二阶系统)设，复数根轨迹上的点，；代入根轨迹方程；；由虚部方程得，和，代入实部方程，整理得圆周方程，；；结论：具有一个零点的二阶系统，其实轴外的根轨迹是圆周的一部分。本题中，，，；则复数根轨迹部分是以为圆心，以为半径的一个圆。4-6已知负反馈系统的开环传递函数，试概略绘制该系统的根轨迹图。解：p1p

4、20p3p4ImRes1s2*，，；；*渐近线，，；*实轴上的根轨迹，；7*与实轴的交点和重根点，，；，；*起始角，；*与虚轴的交点，Re：，Im：；，。4-7已知负反馈系统的开环传递函数，(1)概略绘制系统的根轨迹图；(2)确定临界稳定开环增益；(3)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益。解：根轨迹方程；；p10p3p2ImRe*，，；；*渐近线，，；*实轴上的根轨迹，，；*与实轴的交点,，，；*与虚轴的交点，Re：，Im：；得：，；答案：系统临界的稳定开环增益；p10p3p2ImRez1z2与系统临界阻尼比相应的开环增益。4-18已知负反馈系统的开环传递函数，7试用根轨迹法计算闭环系统根的位

5、置。解：特征方程；试探法求得，，。注：根轨迹法，，，，最终，还是要解三次方程。4-9控制系统如下图所示。R(s)C(s)_试概略绘制、和的根轨迹和单位阶跃响应曲线。若取，试求出时的闭环零点、极点，并估算系统的动态性能。解：(1)：根轨迹方程；；(2)：根轨迹方程，；(3)：根轨迹方程，；(1)(2)(3)0p1p2z1k1k2k1ImReImImReRe0p10p1p2p2z1(4),；；无闭环零点，闭环极点；，；，秒,秒()。4-10系统的开环传递函数：绘制系统的根轨迹图。7解：MATLAB程序如下：num=[1]；den=[1320]；rlocus(num,den)执行后得到如下图形：4-

6、11（1）采用4-10方法绘制开环传递函数当a=1,0.5,8,10时系统的根轨迹，记录根轨迹图并分析。（2）绘制开环传递函数的闭环根轨迹，并确定根轨迹上任意点处的值及对应的闭环特征根。(答案略)7