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1、第四章习题解答与问题一、习题解答1.设方程组⎧5x1+2x2+x3=−12,⎪⎨−x1+4x2+2x3=20,⎪2x+3x+10x=3.⎩123(1)考察用Jacobi迭代法、G-S迭代法解此方程组的收敛性.(k+1)(k)−4(2)用Jacobi迭代法及G-S迭代法解此方程组,要求当X−X<10时迭代终止.∞解（1）方程组的系数矩阵⎡521⎤⎢⎥A=−142⎢⎥⎢⎣2310⎥⎦是对角占优矩阵，故其Jacobi迭代和G－S迭代均收敛。（2）此方程组的Jacobi迭代格式为⎧(k+1)2(k)1(k)12x
2、=−x−x−⎪123555⎪⎪(k+1)1(k)1(k)⎨x2=x1−x3+5⎪42⎪(k+1)1(k)3(k)3x=−x−x+⎪312⎩51010(0)T取初值x=[0，0，0]进行迭代计算，得近似解为(18)TX=(−3.9999964,2.9999739,1.9999999)(18)(17)−4X−X≈0.414468×10∞此方程组的G－S迭代格式为⎧(k+1)2(k)1(k)12x=−x−x−⎪123555⎪⎪(k+1)1(k+1)1(k)⎨x2=x1−x3+5⎪42⎪(k+1)1(k+1)3(
3、k+1)3x=−x−x+⎪312⎩51010(0)T取初值x=[0，0，0]进行迭代计算，迭代8次达到精度要求，得近似解为(8)TX=(−4.000036,2.999985,2.000003)(8)(7)−4X−X≈0.9155273×10∞2.设有方程组⎧x1+0.4x2+0.4x3=1,⎧x1+2x2−2x3=1,⎪⎪(1)⎨0.4x1+x2+0.8x3=2,(2)⎨x1+x2+x3=1,⎪⎪0.4x+0.8x+x=3.2x+2x+x=1.⎩123⎩12325试考察求解上述方程组的Jacobi迭代法及
4、G-S迭代法的收敛性.解：（1）⎡10.40.4⎤⎡0−0.4−0.4⎤⎡0−0.4−0.4⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥A=0.410.8，B=−0.40−0.8，B=00.16−0.64⎢⎥J⎢⎥G−S⎢⎥⎢⎣0.40.81⎥⎦⎢⎣−0.4−0.80⎥⎦⎢⎣00.0320.672⎥⎦ρ(B)=1.0928，ρ(B)=0.6283。所以，Jacobi迭代法不收敛，而G-S迭代法收敛。JG−S⎡12−2⎤⎡0−22⎤⎡0−22⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥（2）A=111，B=−10−1，B=02−3⎢⎥J⎢⎥G−S⎢⎥⎢⎣221⎥⎦⎢
5、⎣−2−20⎥⎦⎢⎣002⎥⎦ρ(B)=1.2604e-005，ρ(B)=2。所以，Jacobi迭代法收敛，而G-S迭代法不收敛。JG−S3．设A=(aij)2×2，为二阶矩阵，且a11a22≠0，试证明求解方程组Ax=b的Jacobi迭代及Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散。⎡a11a12⎤证明：设A=⎢⎥，则aa⎣2122⎦⎡a12⎤⎡a12⎤0−0−⎢⎥⎢⎥aaB=⎢11⎥，B=⎢11⎥JaG−Saa⎢−210⎥⎢01221⎥⎢a⎥⎢aa⎥⎣22⎦⎣1122⎦a12λa112a12a21λ
6、2=a12a21
7、λI−B
8、==λ−ÆJa21λa11a22a11a22a22aa1221所以ρ(B)<1Ù<1Jaa1122a12λa11a12a21a12a21
9、λI−B
10、==λ(λ−)Æλ=0或λ=G−Saa0λ−1221a11a22a11a22aa1122aa1221所以ρ(B)<1Ù<1。由此可得ρ(B)<0Ùρ(B)<1，即两种迭代法JJG−Saa1122同时收敛或同时发散。4．设线性方程组Ax=b的系数矩阵为⎡a13⎤⎢⎥A=1a2⎢⎥⎢⎣−32a⎥⎦试求能使Jacobi迭代收敛的a的取值范
11、围。解：当a≠0时Jacobi迭代矩阵为26⎡13⎤130−−λ⎢⎥aaaa⎢12⎥122iB=⎢−0−⎥，
12、λI−B
13、=λ=0⇒λ=0，λ=±JJ12,3⎢aa⎥aaa⎢32⎥32−0−λ⎢⎣aa⎥⎦aa当a<–2或a>2时Jacobi迭代法收敛。5.设有方程组Ax=b，其系数矩阵主对角元aii≠0(i=1，2，⋯，n)。（1）证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是aλaLa11121naaλLa21222n=0LLLLaaLaλn1n2nn的根满足
14、λ
15、<1。（2）证明解方程组的Jaco
16、bi迭代法收敛的充分必要条件是aλaLa11121naλaλLa21222n=0LLLLaλaλLaλn1n2nn的根满足
17、λ
18、<1。（1）证明：将系数矩阵分解，使得A=D–L–U，其中，D=diag(a11，a22，⋯，ann)是A的主对角元组成的对角矩阵，L=(lij)n×n，和U=(uij)n×n分别是下三角矩阵和上三角矩阵于是Jacobi迭代法的迭代矩阵为−1B=D(L+U)J该矩阵的特征多项式为−1−1
19、λI−B
20、=
