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1、关于薛定谔算子的Littlewood-Paley分解王杰通摘要：假设是一个薛定谔算子．其中是一个定义在上的非负多项式．在这篇文章里，我们将研究关于薛定谔算子的Littlewood-Paley分解．关键词：薛定谔算子；Littlewood-Paley分解；逆Holder类；谱分解分类号：42B25；35J10．1引言假设是一个定义在上的薛定谔算子．最近,一些作者针对不同的位势[4][8][9]研究了关于薛定谔算子的函数空间．在中,作者证明了在多项式增长的李群上的Littlewood-Paley分解,用到的主
2、要工具是Fourier变换．如果我们考虑关于薛定谔算子的Littlewood-Paley分解,Fourier变换这个有力的工具就不能再用了．在这篇文章中,我们通过群表示[1]的方法得到关于薛定谔算子的Littlewood-Paley分解．我们考虑薛定谔算子,其中是一个定义在上的非负多项式,．在和中关于这些算子的一些基本性质已经被证明．假设是由生成的线性算子半群且是它的热核,则由非负以及Feynman-Kac公式得到．假设满足,且在上；在上．若,则的支集包含在中并且,．假设表示的谱分解,我们考虑谱乘子[1]
3、[3][7]6,,以及,,．如果算子的积分核,那么,并且．这篇文章主要的结果是下面的定理．定理1.1.对任意的以及,我们有属于以及属于2关于薛定谔算子的Littlewood-Paley分解对某个正整数k，令表示空间并且表示由所有函数组成的空间满足,我们规定．在中,作者已经证明了下面的引理．引理2.1.对任意的,存在使得对,存在一个函数满足进一步对,存在常数使得对,我们有6通过引理2.1,我们能够得到下面的推论．推论2.1.若,则存在一个上的Schwarz函数使得进一步有,,其中．我们可以证明下面的引理．推
4、论2.2.对任意的,以及,存在和使得对以及,,算子,,的积分核满足下面的估计,,和,证明.通过引理2.1和推论2.1,我们知道．当时,我们类似可以证明6．注2.1.若,,在上；在上,则有．证明.我们首先给出的证明．令．我们需要证明当时,对任意的且有通过，我们得到当时，我们有，其中，．令为的积分核，则通过引理2.2，，．从而又因为，我们有，即6属于．这就证明了．对，我们有．所以属于．注2.2.因为在是稠密的，所以我们有属于，令为算子的积分核，通过(参考中的引理4.3)我们能够证明下面的估计：对任意的，存在一
5、常数使得对所有的，我们有，以及．因而，通过，和中的定理1.3，我们能够得到定理2.2.若且，那么当且仅当以及．进一步有，存在一个正常数使得对有参考文献6[1]J.Dziubanski,Schwartzspacesassociatedwithsomenon-dierentialconvolutionoperatorsonhomogeneousgroups,Colloq.Math63(1992),153-161.[2]J.Dziubanski,Atomicdecompositionspacesassociat
6、edwithsomeSchrodingeoperators,IndianaUniv.Math.J.47(1998),75-98.[3]J.Dziubanski,SpectralmultipliersforHardyspacesassociatedwithSchrodingeroperatorswithpolynomialpotentials,Bull.London.Math.Soc32(2000),571-581.[4]J.Epperson,Triebel-LizorkinspacesforHermite
7、expansions,Studia.Math114(1995),87-103.[5]C.Feerman,Theuncertaintyprinciple,Bull.Amer.Math.Soc.(N.S.)9(1983),129-206.[6]G.Furioli,C.MelziandA.Veneruso,Littlewood-PaleydecompositionsandBesovSpacesonLiegroupsofpolynomialgrowth,Math.Nachr279(9-10)(2006),1028
8、-1040.[7]W.Hebisch,AmultipliertheoremforSchrodingeroperators,Colloq.Math.60/61(1990)659-664.[8]G.OlafssonandS.Zheng,FunctionspacesassociatedwithSchrodingeroperatorsThePoschi-Tellerpotential,J.FourierAnal.Appl.12(6)(
