尖子生辅导高中数学

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1、尖子生辅导1、设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．（Ⅰ）求实数的值（Ⅱ）求函数的极值解：（I）因从而即关于直线对称，从而由题设条件知又由于（II）由（I）知令当上为增函数；当上为减函数；当上为增函数；从而函数处取得极大值处取得极小值2、设的导数满足，其中常数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，求函数的极值．解：（I）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为（II）由（I）知，从而有令当上为减函数；当在上为增函数；当时，上为减函数；从而函数处取得极小值处取得极大值3（上海理20、文21）已知函数，其中常数满足．⑴若，

2、判断函数的单调性；⑵若，求时的取值范围．【解析】⑴当时，因为都单调递增；所以函数单调递增；……２分当时，因为都单调递减；所以函数单调递减；………４分⑵（i）当时，，………………………………7分解得；………………………………8分（ii）当时，，………………………………11分解得．………………………………12分已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）证明：，且时，【解析】（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，设则当时，，而，故当时，得：当时，得：从而当，且时，即.4（陕西文21）设，．（1）求的单调区间和

3、最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．【解】（1）由题设知，∴令0得=1，当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)

4、设，则，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减，当时，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立即从而得。5（陕西理21）设函数定义在上，，导函数，．（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．【解】（1）

5、∵，∴（为常数），又∵，所以，即，∴；，∴，令，即，解得，当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是．（2），设，则，当时，，即，当时，，，因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；当时，=0，∴．（3）满足条件的不存在．证明如下：证法一假设存在，使对任意成立，即对任意有①但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立．证法二假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，∴当时，的值域为，从而可以取一

6、个值，使，即,∴，这与假设矛盾．∴不存在，使对任意成立．6（全国课标理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.考虑函数，则.(i)设，由知，当时，.而，故当时，，可得；当时，，可得.从而当，且时，，即.（ii）设.由于当时，,故,而，故当时，，可得,与题设矛盾.（iii）设.此时,而，故当时，，可得,与题设矛盾.综合得，的取值范围为7（全国大纲文21）已知函数(Ⅰ)证明：曲线（Ⅱ）若求a的取值范围.【分析】第(I)问直接

7、利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.解：（I）.………………2分由得曲线在处的切线方程为由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）.………………6分（II）由得.（i）当，即时，没有极小值；.………………8分(ii)当，即或时，由得故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是..………………12分8（天津文19）（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意

8、的在区间内均存在零点．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能