中心极限定理应用

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1、中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。【关键词】：中心极限定理　正态分布　随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的

2、内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若，，…是一列独立同分布的随机变量，且=a,=(>0),k=1,2,…则有。当n充分大时，~N（0,1），~N（）2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件在每次试验中出现

3、的概率为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。为次试验中事件出现的次数,则其中。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。例1[3]：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解：设Xi(i=1，2，

4、…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215=0.0785例2[3]：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱

5、的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]：报名听心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问该教授讲授两个班的概率是多少?分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100　100i/i！很难求解，如果利用泊松分

6、布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=　Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知E(X)=100，D(X)=100   即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]：火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。(1)求在400次射击中击中目标的次数在区间［30，50］内的概率。(2)问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于0.9？分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。我们知道，正态分布

7、可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，这时也可用泊松分布计算；但是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。解：(1)设在射击中击中目标的次数为Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分布，中心极限定理是否也成立呢?李雅普诺夫定理当随机变

8、量Xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。定理3[2](李雅普诺夫定理)：设X1，X2，…，Xn，…为独立随机变量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2=　σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：也就是说，无论各个随机变量Xi服从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。由于在大学本