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1、怀化学院数学系《高等代数》省精品课程实验报告四Xieleping《Matlab→高等代数》实验四学号：姓名：年级专业班级：实验时间：年月日时—时实验地点：实验教师：谢乐平实验四内积与正交、化二次型为标准形一、实验目的1、了解Matlab中内积，长度的求法及正交性的判断；2、掌握Matlab中向量组的正交规范化及矩阵的相似对角化。3、掌握Matlab中用正交线性替换化二次型为标准型。二、实验内容四、内积与正交、化二次型为标准形1、向量的内积和长度向量的内积：dot(x,y)或x'﹡y(x,y是列向量),若dot(x,y)
2、=0，则x和y正交。例：>>clear>>a=[123];b=[10-1]>>dot(a,b)%a,b的内积>>a*b'%a,b的内积说明：MATLAB中内积默认为两个向量的对应分量的乘积之和向量的长度norm(x)或者sqrt（x'﹡x）(其中x是列向量)。例如：>>A=[111]'>>b=norm(A)%向量A的长度>>c=sqrt(A'﹡A)%向量A的长度例：判断向量和是否正交.>>clear>>a=[2-14]'>>b=[-4-41]'>>c=dot(a,b)%求向量a，b的内积，说明：c=0，则a和b正交.2
3、、向量组的正交规范化向量组的正交规范化命令为orth(A)，将矩阵A的列向量组正交规范化B=orth(A),A和B的列向量等价，且B的列向量为两两正交的单位向量，满足B’*B=E，B'*B=eye(rank(A))为1的个数等于rank(A)的对角矩阵。第-3-页共3页怀化学院数学系《高等代数》省精品课程实验报告四Xieleping例：将矩阵的列向量组正交规范化>>A=[11;00;1-1]>>B=sym(orth(A))%将A的列向量组正交规范化，并以符号的形式输出>>dot(B(:,1),B(:,2))%选B第1列
4、与第2列作内积ans=0，B第1列与第2列正交>>B'﹡B3、实（对称）矩阵的对角化实对称矩阵的对角化：[P,D]=eig(A)，函数eig求出二次型矩阵A的特征值为对角元的对角矩阵D和特征向量作为列的正交矩阵P，如果A是二次型的矩阵，则求的D即为系数矩阵A的二次型的标准形的矩阵，矩阵P即为二次型的变换矩阵例：求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断能否对角化。>>clear>>A=[-120;-230;302]%实矩阵A>>[vd]=eig(A)%求A的特征值与特征向量>>rank(v)%求特征向量为列的矩阵V的秩ran
5、k(v)=2，不可相似对角化。例：求矩阵的特征值与特征向量，并将其对角化. 解法一：>>clear>>A=[122;212;221];>>d=eig(A)%求全部特征值所组成的向量>>[V,D]=eig(A)%求特征值及特征向量所组成的矩阵>>inv(V)*A*V%验证A可对角化，且对角矩阵为D解法二：>>clear>>A=[122;212;221];>>p=poly(A)%矩阵A的特征多项式的向量表示形式>>roots(f)%矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值解法三：>>clear>>A=[122;212;221]
6、>>E=eye(3)>>symsx>>f=det(x*E-A)%矩阵A的特征多项式>>solve(f)%矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值为x1=5,x2=x3=-1%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系>>symsy第-3-页共3页怀化学院数学系《高等代数》省精品课程实验报告四Xieleping>>y=5>>B=y*E-A>>b1=sym(null(B))%b1为（x1*E—A）X=0基础解系也是属于特征值5的特征向量在基下的坐标%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系>
7、>y=-1>>B=y*E-A>>b2=sym(null(B))%b1为（x2*E—A）X=0基础解系null(A)齐次线性方程组A*Z=0的基础解系：>>b21=b2(:,1),b22=b2(:,2)%b21，b22是特征值-1的特征向量在基下的坐标>>T=[b1,b2]%所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵>>D=T^-1*A*T%将矩阵A对角化，得对角矩阵D4、化二次型为标准形及正定性的判别例：正交线性替换化二次型为标准形.先写出二次型矩阵，再将其正交规范化。>>clear>>A=[1-20;-22-2;0-23]
8、;%二次型矩阵A>>[V,D]=eig(A)%将矩阵A正交规范化>>V'﹡V%验证V是正交阵>>inv(V)*A*V%验证V^-1AV=D%下面写出二次型的标准形>>symsy1y2y3>>y=[y1,y2,y3]>>X=V*y'%作正交线性替换X=Vy>>f=y*D*y'%二次型的标准形，其中y1*conj(y1)为y1与其共轭
