3.2.3 直线方程的一般式

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1、3.2.3直线方程的一般式1．一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是，在y轴上的截距是；当B＝0时，这条直线垂直于x轴，没有斜率．2．二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是的．(同解方程视为同一方程)1．直线y－1＝4(x＋2)

2、化为一般式方程为(　　)(A)4(x＋2)－y＋1＝0(B)4x－y＋9＝0(C)y＝4x＋9(D)＝42．若直线l：Ax＋By＋C＝0过原点，则(　　)(A)B＝0(B)C＝0(C)A＋B＋C＝0(D)A·C＝03．直线l：2x－y＋1＝0不经过(　)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4．直线2x＋3y－6＝0的斜率是________，在y轴上的截距是________，它的截距式方程是______________．知识要点归纳一：直线的一般式方程与其他形式方程的转化1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都可以化成一般

3、式方程，直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线．但是，直线方程的一般式不一定都能化为四种特殊形式，这要看系数A、B、C是否为0才能确定．(1)一般式化斜截式为：y＝－x－(B≠0)；(2)一般式化截距式为：＋＝1．2．在求直线方程的题目中，最后结果一般要写成直线的一般式方程．3．已知两个独立的条件可求直线方程求直线方程，表面上需求A，B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．知识要点归纳二：直线方程的五种形

4、式的对比直线的方程形式已知条件方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距y＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x，y轴上的截距分别是a，b，并且ab≠0＋＝1与坐标轴不垂直且不过原点的直线一般式两个独立的条件Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)无限制4知识要点归纳三：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行与垂直的判断1．根据直线方程的一般式判

5、断两直线平行(1)当B1≠0，B2≠0时，k1＝－，b1＝－，k2＝－，b2＝－.当l1∥l2时，－＝－且－≠－(否则，两直线重合)，即A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0.(2)当B1＝0，B2＝0时，x1＝－，x2＝－.∵l1∥l2，∴－≠－，即A1C2－A2C1≠0.综上所述：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2．根据直线方程的一般式判断两直线垂直(1)当B1≠0，B2≠0时，k1＝－，k2＝－.∵l1⊥l2，∴(－)×(－)＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.(2)当B1＝0

6、，B2≠0时，l1⊥l2，则A2＝0，∴A1A2＋B1B2＝0.(3)当B1≠0，B2＝0时，l1⊥l2，则A1＝0，∴A1A2＋B1B2＝0.综上所述：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.典例解析：题型一：求直线的一般式方程【例1】根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.变式训练11：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4

7、,2)，平行于x轴；4(3)在x轴和y轴上的截距分别是、－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．题型二：利用一般式解决平行与垂直问题【例2】已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．题型三：一般式的综合应用【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．变式训练：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．

8、(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.4基础达标1．如果直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为45°，则有(　　)(A)A＝