《整体思想方法》

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1、高中数学思想方法专题六整体思想方法慕泽刚(重庆市龙坡区渝西中学401326)一、知识要点概述人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法”.整体的思想方法的中学数学里体现是很充分的.众所周知，数学概念是对一类客观现象经过整体性思考，抽象、概括而形成的；数学运算法则则是从同一类运算实践的整体中，经过归纳、概括建立起来的；解答数

2、学问题是纵观条件和结论的整体情境之后，通过对数学方法的运用环节调节而求得结果的；数学的各个分支之间、空间形式与数量关系之间，又表现出高度的协调一致，呈现着和谐的数学美.这一切说明数学是一个有机的整体.高考中对整体思想方法的考查是一个重点对象之一，选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透.二、解题方法指导1.运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.2.运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既

3、有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的.3.运用整体的思想方法解题，常与换元法结合越来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性.三、范例剖析例1一项数为奇数的等差数列，其奇数项之和为51，偶数项之和为42，首项为1，求其通项公式.解析：设等差数列共2m+1项，则奇数项有m+1项，偶数项有m项，由题意，得{，两式相比较，得=，∴m=5，把m=5代入①得，a1+a11=17.又a1=1，∴a11=a1+10d=1+10d=16，∴d=，∴数列的通项公式an=(1≤

4、n≤11，n∈N+).点拨：解答本题时若按常规的解法是，抓住首项a1与公差d这两个基本元素，其过程较为繁琐.但本题的解法是从整体上思考问题，把偶数和与奇数和分别看成一个整体，因此解答过程比较简单.例2直线顺次交双曲线－=1及渐近线于A、B、C、D四点，求证：

5、AB

6、=

7、CD

8、.解析：由于渐近线可以记为：－=0，则由y=kx+m代入－=0得b2x2-a2(kx+m)2=0，第4页共4页即(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0，因为题中直线不可能为渐近线或与之平行，∴b2-a2k2≠0，若B、C为该直线与渐近线的交点，则易知线段BC的中点横坐标为x=，由y=k

9、x+m代入－=1得b2x2-a2(kx+m)2=a2b2，即(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，所以，线段AD的中点的横坐标也为x=，即AD与BC的中点相同，记为E，则有

10、AB

11、=

12、EA

13、-

14、EB

15、=

16、ED

17、-

18、EC

19、=

20、CD

21、.显然，若题中直线斜率不存在，则由图形的对称性，易知结论显然成立.点拨：本题中将两条渐近线＋=0，－=0处理为一个整体－=0，使解答过程得到简化.例3求coscoscoscoscoscoscos的值.解析：设A=coscoscoscoscoscoscos，配对：B=sinsinsinsinsinsinsin，则由倍角公

22、式，得AB＝sinsinsinsinsinsinsin，即AB＝sinsinsinsinsinsinsin=B.显然，B≠0，由上式，AB＝B，得A＝.coscoscoscoscoscoscos＝.点拨：本题将已知式视为一个整体，然后采用整体代换的方式，构造一个对偶式，可使问题化难为易、化繁为简.一般地，若所求解的三角函数式在角度或函数名称的设置上具有一定的规律，可通过配对进行转化，从而使问题快速求解.例4已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.解析：设t＝cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方，得(sinx+siny)2﹢(cosx+cos

23、y)2=1+t2，∴(sin2x+2sinxsiny﹢sin2y)+(cos2x+2cosxcosy+cos2y)=1+t2，∴2+2(cosxcosy﹢sinx+siny)=1+t2，即2+2cos(x﹣y)=1+t2，∴2cos(x﹣y)=t2﹣1.∵-2≤2cos(x﹣y)≤2，∴﹣2≤t2﹣1≤2，∴﹣1≤t2≤3，又t2≥0，0≤t2≤3，∴﹣≤t≤，即﹣≤cosx+cosy≤.所以，cosx+cosy的取值范围是[﹣，].点拨：如果所涉及的在三角问题中已知式或待求式的结构类似，则可用整体代换，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.乙