§4.4 厄密算符本征函数的性质

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1、§4.4厄密算符本征函数的性质　重点：  厄密算符本征函数的正交、归一、完备性　（一）厄密算符本征函数的正交性如果两函数和满足下列等式（4.4-1）式中积分是对变数的全部区域进行的，则称和两函数相互正交，“正交”这名词来源于两矢量A，B正交时，其乘积满足所以（4.4-1）式可以认为是上式的推广。例属于动量算符不同本征值的两个本征函数和相互正交，即下面证明：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。在非简并的情况下，设厄密算符的本征函数是,它们所属的本征值互不相等，我们要证明当时，有（4.4-2）证设本征值方程（4.4-3）（4.4-4）且当时，（4.4-5）

2、由于为厄密算符，所以根据定义有利用（4.2-3）、（4.2-4）式，上式可写成但厄密算符的本征值都是实数，即，故上式可写为或由（4.4-5）式故得（4.4-6）在的本值组成分立谱的情况下，假设本征函数已归一化，即（4.4-7）这样（4.4-2）和（4.4-7）两式可合并写为（4.4-8）式中符号表示如果的本征值组成连续谱，则本征函数可归一化为函数，代替（4.4-8）有（4.4-9）（二）厄密算符本征函数的完全性如果是厄密算符，它的正交归一体征函数是对应的本征值是则任一函数可用它们（全部）的线性迭加来表示，即（4.4-10）式中与r无关，本征函数的这种性质称为

3、完全性或者说组成完全系。如果的本征值组成连续谱，则（4.4-10）式可改成积分形式（4.4-11）迭加系数可证明仍为（4.4-12）如果的本征值既有分立谱，又有连续谱，则它的全体征函数组成完全系，即