第二章 分岔与奇怪吸引子

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1、第二章分岔与奇怪吸引子第一节第一节     简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。分岔是一种非常普遍的自然现象。一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。常识告诉我们，在力P的作用下，如图2-1a所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷后，杆会出现弯曲，这时扰度s为压力P的函数。在以P—s为坐标的平面上，如图2-1b所示，当压力P＜时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P＞时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC方向）、偏向或方向，因此是这个力学体系不同平衡

2、状态的分岔点。然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向或状态。另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s随压力P的增加而沿曲线OA或OB增加。 图2-1一根弹性压杆的分岔 在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。上一章我们在展示单摆运

3、动中看到，当驱动力F增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数处发生了所谓叉式分岔，一个在时的稳定解在时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。1切分

4、岔产生切分岔的微分方程形式：(2-1-1)式中μ为控制参数。由得式(2-1-1)的平衡点为：(2-1-2)解(2-1-2)说明，当μ＜0时不存在奇点，而当μ＞0时出现两个奇点，如图2-2所示。然而μ＞0时的两个奇点的稳定性是不同的，其中是稳定的，而是不稳定的。 图2-2切分岔 为了讨论切分岔的两个解的稳定性，我们在的附近取一点，它与的距离为，由式(2-1-1)得：将解式(2-1-2)代入并忽略高阶小量有：于是得解：(2-1-3)因此，对于解，当时有，说明此解是稳定的，它是稳定的结点。对于解，当时有，因

5、此它是不稳定的，它是鞍点。由此可见切分岔是一个鞍–结分岔。为了说明分岔点附近的分岔情况，如图2-3给出了μ＜0、μ=0与μ＞0时与μ轴相垂直的x平面中相轨线的走动方向，稳定的解是图中的A支，不稳定的是图中的B支。A与B两支构成了μ＞0时鞍点与结点附近的相轨线。 图2-3切分岔中的相轨线 2转换键型分岔这种分岔属于稳定性转变的分岔，它是由下式产生的。(2-1-4)由给出方程(2-1-4)的奇点为：(2-1-5)当式(2-1-4)的右边取负号时分岔图形如图2-4所示。采用与分析切分岔解的稳定性同样的方法，

6、经分析可知，如μ＜0它的平衡点是稳定的，而它的平衡点是不稳定的；如μ＞0它的平衡点是不稳定的，而平衡点(?)是稳定的；其分岔点为(,μ)＝(0,0)。对式(2-1-4)右边取正号的情况只要将上述的讨论推广即可。图2-5给出了与μ轴相垂直的x平面中相轨线的流动方向。由图可见，不管是μ＜0还是μ＞0，都是一对鞍–结点。但在μ＜0时，的轴线是结点，不稳定的A支是；而在μ>0(?)时，的轴线是不稳定的A支，结点为(?)支。图2-4转换键型分岔 图2-5转换键型x平面中的的相轨线 3叉式分岔有一微分方程：(2-

7、1-6)μ为控制参数。由得三个平衡点：(2-1-7)当μ＜0时，只有平衡点＝0，采用切分岔解稳定性分析方法可知它是稳定的。当μ＞0时则有三个平衡点，其中＝0是不稳定的，而的两个解都是稳定的。因此其分岔图形象一把叉子，如图2-6所示。在上一章的杜芬方程(1-2-9)（）求解中，在参数时，方程只有一个的平衡点；在参数时方程有三个的平衡点：与，其中两个平衡点是稳定的，是不稳定的平衡点。可见杜芬方程具有叉式分岔。图2-7给出了μ＜0、μ=0与μ＞0时与μ轴相垂直的x平面中相点沿相轨线的走动方向。 图2-6叉式

8、分岔  图2-7叉式分岔的x平面中的相轨线 4霍夫型分岔研究微分方程组：(2-1-8)引入极坐标，(x-y)相平面上一点到坐标原点的距离为，则：，对它们微分后有：(2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分别令正弦与余弦分量的系数分别相等，得：(2-1-10)对式(2-1-10)积分可得：(2-1-11a)(2-1-11b)式中，积分常数C与t0由初始条件决定。由式(2-1-11a)可见，对于μ≤0，相平面中的相点到坐标原点距离r随时间缩短，当时间t