数学归纳法在中学数学教学中的应用

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1、数学归纳法在中学数学教学中的应用泗洪县临淮中学223935陈彬彬[摘要]本文探讨了数学归纳法在中学数学中证明与自然数有关的等式、不等式、整除性及几何命题等几个方面的应用，最后讨论了数学归纳法不适用的情况。[关键词]数学归纳法；等式；不等式；整除性；命题数学归纳法提供了一种数学的思维方法。在数学归纳法的教学中，应强调它的思维作用，学会用数学归纳法的思维方式思考问题，而不是过分强调它的证题格式，证题技巧。数学归纳法的数学本身是一种素质教育。当然，数学归纳法是一种知识，但只有当学生充分理解数学归纳法的原理以及证题中的一些要

2、点之后，才能使这种知识融入学生的整个知识体系，才能运用数学归纳法证明一些问题，解决一些问题。一般数学归纳法步骤为：如果表示一个自然数有关的数学命题，则(1)验证当(如或等)时，正确。(2)假设时，正确，证明：当时，也正确。根据（1）、(2)得都正确。这个原理的合理性基于下面的定理：定理已知一个与自然数有关的命题，如果对于数，是正确的，而且当假定对于数正确时,能证明它对于的直接后续数也是正确的。10那么这个命题对于所有自然数都是正确。数学归纳法原理体现了递推思想，其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据,递推

3、就没有奠基。（2）是递推的根据,有了它无限次递推成为可能。所以,数学归纳法的两步骤缺一不可。数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的，但在证题时，第一步较易，第二步证明较难。解决的关键就是做从到的转化工作，而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识，有时还要用不同的方式进行。学生往往感到困难，绞尽脑汁都难以完成这一步。针对这个问题，本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类，并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例，探讨数学归纳法在中学教学中的应用。一用数学归纳法证明与自然数有

4、关的等式例1证明：。证（1）当时，左边,右边，等式成立。（2）假设当时原等式成立，即。那么，当时，等式的左边10这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），等式对于所有自然数都成立。可见，有关等式的证明，从到的转化过程常通过恒等变形进行。例2证明：。证（1）当时，左边，右边,显然等式成立。（2）假设当时等式成立，即那么，当时，等式的左边这就是说：当时等式成立。根据（1）和（2）可知，等式对所有自然数都成立。说明：这个等式的证明，从到的转化工作中，注意：需要加减一项的恒等变形。例3试证：。10证（1）当时，即左右，

5、所以时，原等式成立。（2）当时，原等式成立，那么，当时，有这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2）可知对任何都成立。说明：即当时，原式也成立，据数学归纳法，原等式对一切自然数都成立。应特别指出，数学归纳法并不一定要从开始，也可以（有时不得不对某个，证明命题成立，然后完成归纳步骤，从而得到对于一切大于或等于初始数的一切正整数命题成立的结论。但要记住，对的值，原命题可能成立，也可能不成立。二用数学归纳法证明一类与自然有关的数（式）的整除性命题这类问题涉及到数（式）的知识，结合例题复习有关整除的知识，如果能被整除，那

6、么的倍数也能被整除；如果都能被整除，那么它们的和或差也能被整除。例4证明能被整除证（1）当时，显然能被整除，命题成立。10（2）假设当时，原命题成立，即能被整除。那么，当时，这里第一项由归纳法假设能被整除，第二项中是奇数，则是偶数。能被整除，由整除性质可知，它们的差也能被整除，这就是说：当时命题也成立。即原命题对所有自然数都成立。说明：这类整除性命题的证明，从到的推证过程中，有时需要加减一项的技巧。如上例，需要加减一项及把换成的技巧，从中析出来，以便应用归纳法假设。这是同学们感到困难的，加减什么项，难以寻求。针对这个

7、问题，我们寻求另外的论证方法：“作差”。即求的差。其优点是方法统一。容易显露问题的核心。便于寻求推证的途径，就以上例来说：当时，即，作差因是奇数,所以为偶数。则能被整除。由归纳假设能被整除，所以)也能被整除。例5三个连续自然数的立方和能被整除。证根据题设：三个连续自然数为、、,则原命题为能被整除。10（1）当时，能被整除。（2）假设时能被整除。那么，当时，有因为与都能被整除，所以上面的和也能被整除。根据（1）和（2），可知命题对任何三个连续自然数的立方和都能被整除。三用数学归纳法证明与自然数有关的不等式例6已知都是正

8、数，试证：。证（1）当时，因为，所以原不等式成立（取等号）。（2）假设当时原不等式成立。即那么，当时，不等式的左边显然，只要证明，原不等式即可得证，但此式难以直接证明，经仔细观察发现，原不等式关于变量10是轮换对称的。于是，不妨设则,。故当时，不等式成立。即原不等式对于所有自然数都成立。本题证明的关键是，通过观察发现，原不等式关于变量是轮换对称